(ESC 2001)

Suites u n + 1 = f ( u n ) et séries





On considère la fonction f définie sur [ 0 ; 1 ] par f ( x ) = 2 x e x




  1. Montrer que f réalise une bijection de [ 0 ; 1 ] sur un ensemble que l'on déterminera.




    On note f 1 la bijection réciproque de f . Donner les tableaux des variations de f et de f 1

  2. Vérifier qu'il existe dans [ 0 ; 1 ] un et un seul réel noté α tel que α e α = 1 .




    Montrer que α 0 .

    On définit la suite ( u n ) n par: { u 0 = α n ,    u n + 1 = f 1 ( u n )

  3. Montrer que pour tout entier naturel n, u n existe et u n ] 0 , 1 ]

  4. Montrer que pour tout réel x de [ 0 ; 1 ] , f ( x ) x 0 . Vérifier que l'égalité ne se produit que pour x = 0 .

    1. En déduire que la suite ( u n ) n est strictement décroissante.

    2. Montrer que la suite ( u n ) n est convergente et qu'elle a pour limite 0.

  5. On se propose de préciser ce résultat en déterminant un équivalent de u n

    On pose pour tout entier naturel n : S n = k = 0 n u k

    1. Montrer que pour tout entier naturel n : u n + 1 = 1 2 u n e u n + 1

    2. En déduire par récurrence que pour tout entier naturel n, u n = e S n 2 n

    3. Montrer que u n ( 1 2 ) n et en déduire que la série de terme général u n est convergente. On note L sa somme. Montrer que α L 2 .

    4. Montrer finalement que u n e L 2 n quand n +

(ESC 2001)