Corrigé (INSEECom 2002) par Pierre Veuillez

    1. f est continue sur * comme composée des fonctions x 1 / x 2 continue sur * à valeurs dans et de exp continue sur .

      En 0 , si x 0 : f ( x ) = e 1 / x 2 0 = f ( 0 ) donc f est continue en 0 et f est continue sur .

    2. n détermine la limite du taux d'accroissement : f ( x ) f ( 0 ) x 0 = e 1 / x 2 x = 1 / x e 1 / x 2

      Or e X X en + donc e 1 / x 2 1 / x 2 1 / x quand x 0 et que 1 / x 2 +

      Donc le taux d'accroissement tend vers 0, f est dérivable en 0 et f ( 0 ) = 0

    3. f est dérivable sur * comme composée de x 1 / x 2 dérivable sur * à valeurs dans et de exp dérivable sur

      f ( x ) = e 1 / x 2 2 x 3 = 2 x 3 f ( x ) f est de classe C 1 sur * comme composée de fonctions de classe C 1 .

      En 0 : f ( x ) 0 car e X X 2 donc e 1 / x 2 1 / x 4 1 / x 3 donc f est continue aussi en 0. Donc f est biende classe C 1 sur

    4. f est une fonctinpaire. Sur + * on a f > 0 donc f y est strictement croissante et par symétrie elle est strictement décroisante sur . Comme f ( x ) 1 quand x + , on a une asymptote horizontale d'équation y = 1 en + et par symétrie en également.

      Comme f ( 0 ) = 0 , sa courbe représentative a une tangente horizontale en 0.

      x 0 +
      f ( x ) 0 +
      f ( x ) 1 1
      0

  1. Etude d'une suite. Soit u la suite définie par : u 0 = 3 et n , u n + 1 = ¯ f ( u n )

    1. On remarque que pour tout x 0 on a f ( x ) ] 0 , 1 [

      Par récurrence :

      • Pour n = 1 on a u 1 = f ( u 0 ) ] 0 , 1 [

      • Soit n * telque u n ] 0 , 1 [ alors f ( u n ) ] 0 , 1 [

      • Donc par récurrence, on a pour tout entier n non nul, u n ] 0 , 1 [

    2. Soit g la fonction défnie sur [ 0 , 1 ] par g ( x ) = f ( x ) x , calculer g ( x ) .

      g est C 1 sur [ 0 , 1 ] et pour x 0 on a g ( x ) = f ( x ) 1 qui est dérivable pour x 0 et g ( x ) = f ( x ) = 6 x 4 e 1 / x 2 + 2 x 3 2 x 3 e 1 / x 2 = 2 3 x 2 2 x 6 e 1 / x 2

      x 0 2 / 3 1
      3 x 2 2 0 + 2 ° degré
      g ( x ) 1 + 0 1
      g ( x ) f ( 2 3 ) 1
      g ( x ) 0

      g est continue et strictement décroissante sur [ 0 , 1 ] elle réalise donc une bijectionde [ 0 , 1 ] dans [ g ( 0 ) , g ( 1 ) ] = [ 0 , e 1 1 ]

    3. On a donc pour tout x ] 0 , 1 [ g ( x ) < 0 et f ( x ) < x

      Et comme u b ] 0 , 1 [ on a alors f ( u n ) < u n et donc u n + 1 < u n . La suite u est strictement décroissante.

      Elle est minorée par 0. Elle est donc convergente.

      Soit sa limite. f est continue sur elle est donc continue en donc f ( ) = .

      Comme de plus [ 0 , 1 ] alors = 0 (seule solution sur l'intervalle [ 0 , 1 ] )

      Finalement lim n + u n = 0

  2. x , P 1 ( x ) = 2 et n et x P n + 1 ( x ) = x 3 P n ( x ) + ( 2 3 n x 2 ) P n ( x ) .

    1. f est de classe C sur * comme composée de fonctions C

    2. On a : P 2 ( x ) = x 3 P 1 ( x ) + ( 2 3 x 2 ) P 1 ( x ) = 2 ( 2 3 x 2 )

      On a calculé f ( x ) = 4 6 x 2 x 6 e 1 / x 2 = P 2 ( x ) x 6 f ( x ) pour tout x non nul.

      La propriété est également vraie pour n = 1.

      Soit n * tel que pour tout x * f ( n ) ( x ) = P n ( x ) x 3 n f ( x )

      Alors f ( n + 1 ) ( x ) = f ( n ) ( x ) = ( P n ( x ) e 1 / x 2 + 2 x 3 P n ( x ) e 1 / x 2 ) x 3 n 3 n x 3 n 1 P n ( x ) e 1 / x 2 x 6 n = x 3 P n ( x ) e 1 / x 2 + 2 P n ( x ) e 1 / x 2 3 n x 2 P n ( x ) e 1 / x 2 x 6 n ( 3 n 3 ) = x 3 P n ( x ) + ( 2 3 n x 2 ) P n ( x ) x 3 ( n + 1 ) e 1 / x 2

      Donc la propriété est bien vraie pour tout entier n 1

    3. On a pour toutentier n 1 : P n + 1 ( 0 ) = 0 3 P n ( 0 ) + ( 2 3 n 0 2 ) P n ( 0 ) = 2 P n ( 0 )

      La suite P n ( 0 ) . e s t donc géométrique de raison 2 et pour tout entier n 1 : P n ( 0 ) = 2 n 1 P n ( 1 ) = 2 n

    4. Pour calculer la lmite de f ( n ) en 0 : f ( n ) ( x ) = P n ( x ) x 3 n e 1 / x 2

      Comme P n ( x ) P n ( 0 ) = 2 n quand x 0 (une fonction polynôme est continue sur ) et que e X X 3 n quand X + alors e 1 / x 2 ( 1 / x 2 ) 3 n = 1 / x 6 n 1 / x 3 n

      Donc 1 / x 3 n e 1 / x 2 0 et lim x 0 f ( n ) ( x ) = 0

    5. On sait que f est C sur * .

      On sait également que f est de classe C 1 sur

      Soit n 1 tel que f est de calsse C n sur alors comme

      • f ( n ) ( x ) f ( n ) ( 0 ) et que

      • f ( n ) est dérivable sur * et que f ( n ) ( x ) 0 quand x 0

      • alors le taux d'accroissement de f ( n ) en 0 tend vers 0

      • Donc f ( n ) est dérivable en 0 et f ( n + 1 ) ( 0 ) = 0 et f ( n + 1 ) est continue en 0.

      Donc pour tout entier n 0 , f est de classe C n en 0. Elle est donc de classe C en 0 et sur .

(INSEECom 2002)