(INSEECom 2002)

  1. On considère la fonction f définie sur par f ( 0 ) = 0 et x * f ( x ) = e 1 / x 2

    1. Montrer que f est continue sur .

    2. Montrer que f est dérivable en 0 et calculer f ( 0 ) .

    3. Montrer que f est dérivable sur * , et calculer f ( x ) pour x * et justifier que f est de classe C 1 sur .

    4. Achever l'étude des variations de f , dresser son tableau de variations, construire sa courbe représentative ainsi que la tangente à cette courbe à l'origine.

  2. Etude d'une suite.

    Soit u la suite définie par : u 0 = 3 et n , u n + 1 = f ( u n )

    1. Montrer que n * , u n ] 0 , 1 [ .

    2. Soit g la fonction défnie sur [ 0 , 1 ] par g ( x ) = f ( x ) x , calculer g ( x ) .

      Montrer que g réalise une bijection de [ 0 , 1 ] sur un ensemble que l'on déterminera.

      (On admettra que f ( 2 3 ) 0 , 82 ).

    3. En déduire que la suite u est strictement décroissante et converge. Calculer lim n + u n .

    On se propose de démontrer que f est indéfiniment dérivable sur .

    1. Montrer que f est de classe C sur *

    2. On définit pour tout entier naturel n non nul, la fonction polynôme P n , par :

      x , P 1 ( x ) = 2 et n et x P n + 1 ( x ) = x 3 P n ( x ) + ( 2 3 n x 2 ) P n ( x ) .

      Calculer P 2 ( x ) et vérifier que x * , f ( x ) = P 2 ( x ) x 6 f ( x )

      Montrer par récurrence sur n , n * , que : x * f ( n ) ( x ) = P n ( x ) x 3 n f ( x ) .

    3. Montrer que : n * , P n ( 0 ) = 2 n

    4. Montrer que : lim x 0 f ( n ) ( x ) = 0

    5. Montrer par récurrence qur n * , que f est de classe C n sur .

      En déduire que f est de classe C sur .

(INSEECom 2002)