Corrigé par Pierre Veuillez
  1. Propriétés de la fonction f définie par: f(x)=ln( ex + e-x )
    1. f est définie continue et dérivable en x tel que ex + e-x >0 (toujours) donc sur
      Pour tou x Ef on a -x Ef et f(-x)=ln( e-x + ex )=f(x). Donc f est paire.
    2. f est dérivable sur et
      f' (x)= 1 ex + e-x ( ex - e-x )

      Il reste donc à étudier le signe de ex - e-x = e-x ( e2x -1)
      x 0
      e2x -1 0 +
      f' (x) 0 +
      f(x) ln(2)
      et f est croissante strictement sur [0,+[.
    3. On a ici l'asymptote en factorisant :

      f(x) = ln( ex + e-x )=ln( ex (1+ e-2x )) = x+ln(1+ e-2x )

      et comme ln(1- e-2x )0 quand x+ on a pour asymptote la droite d'équaiton y=x en +
    4. En réutilisant l'experssion précédente on a
      f(x)-x=ln(1+ e-2x )

      et comme 1+ e-2x >1>0 et que ln est strictement croissante sur ]0,+[ on a alors ln(1+ e-2x )>ln(1)=0 et donc
      pour tout x réel,    f(x)>x.
    5. Pour résoudre, il faut ici se débarasser du ln puis ramener les deux exponentielles à une seule en écrivant e-x =1/ ex que l'on remet enfin au numérateur :
      f(x)<x+1 ln( ex + e-x )<x+1 ex + e-x < ex+1     car exp strictement sur e2x +1< ee2x e2x (1-e)<-1 e2x > 1 e-1     car 1-e<0 2x>-ln(e-1)    car ln strictement sur + *     x> -ln(e-1) 2 =α-0,27

    6. Il faut bien placer les points étudiés sur le graphe : le minimum en 0 et le point α, les asymptotes en ± et respecter la parité (symétrie par rapport à l'axe Oy )
  2. Etude de la suite u définie par u0 =0 et pour tout entier n,    un+1 =f( un ).
    1. Comme f(x)>x pour tout réel x, on a f( un )> un et donc un+1 > un pour tout entier ;
      La suite u est donc croissante.
    2. On raisonne ici par l'absurde :On suppose que la suite u est majorée
      Comme elle est croissante et majorée, elle est convergente.
      Soit sa llimite;
      Comme f est continue sur , elle est continue en .
      Donc comme un alors f( un )f()
      Et comme un+1 on a aussi un+1 =f( un )
      D'où par unicité de la limite, f()=
    3. Or cette équation n'a pas de solution.
      Donc, par l'absurde, la suite u n'est pas majorée.
      Elle est donc croissante et non majorée donc un \undersetn++
  3. Majorations par une autre suite.
    1. Comme la suite u est croissante et que u0 =0, on a pour tout entier n, un 0>α
      Et comme f(x)<x+1 pour tout x>α on a alors f( un )< un +1 donc     un+1 < un +1
      Par récurrence :
      • pour n=0 on a u0 =0<0+1
      • soit n tel que     un <n+1. Est ce que un+1 <n+2 ?
        alors un+1 < un +1<n+1+1 donc un+1 <n+2
      • Donc par récurrence, pour tout entier n,    un <n+1.
    2. Par récurrence :
      • pour n=0 on a u0 =0ln(0+1)
      • Soit n tel que un ln(n+1). Est-ce que un+1 ln(n+2) ?
        Or f est strictemen croissanet sur + et un et ln(n+1) en sont éléments donc
        f( un )f(ln(n+1)) dont on déveoppe l'écriture :
        f(ln(n+1))=ln( eln(n+1) + eln(n+1) ) =ln(n+1+ 1 n+1 )

        et comme 1 n+1 1 on a n+1+ 1 n+1 n+2 et enfin ln(n+1+ 1 n+1 )ln(n+2) car ln est strictement croissante sur + * et qu'ils en sont éléments.
        Finalement un+1 ln(n+2) et
      • par récurrence que pour tout entier n,    un ln(n+1).



File translated from TEX by TTM, version 3.59.
On 18 May 2004, 00:02.