1. Propriétés de la fonction f définie par: f(x)=ln( ex + e-x )
    1. Déterminer son ensemble de définition et montrer que f est une fonction paire.
    2. Montrer que f est croissante sur [0,+[.
    3. Déterminer l'asymptote de la courbe représentative de f en +.
    4. Montrer que pour tout x réel, f(x)>x.
    5. Résoudre l'équation f(x)<x+1.
    6. Tracer sur un même graphique la courbe représentative de f ainsi que les droites d'équation: y=x et y=x+1.
  2. Etude de la suite u définie par u0 =0 et pour tout entier n,    un+1 =f( un ).
    1. Déduire de 1. que la suite u est croissante.
    2. On suppose que la suite u est majorée
      Montrer qu'elle est alors convergente et que sa limite vérifie l'équation f()=
    3. Déterminer la limite de la suite u.
  3. Majorations par une autre suite.
    1. A l'aide de la partie 1. montrer que pour tout entier n,    un+1 < un +1
      En déduire par récurrence cette première majoration : pour tout entier n,    un <n+1.
    2. Montrer par récurrence cette second majoration : pour tout entier n,    un ln(n+1).



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On 18 May 2004, 00:02.