Corrigé Sr016 par Pierre Veuillez
Soit
la fonction définie sur
par :
Etude de
est dérivable sur
car
et
Donc
est strictement croissante sur
En
on a
En
et on a deux asymptotes horizontales.
On a
et la courbe représentative de
est symétrique par rapport au
point de coordonnées
est deux fois dérivable sur
et
N.B. comme toujours quand on dérive avec une puissance au
dénominateur, il y a ensuite simplification.
La dérivée seconde étant du signe de
elle est positive jusqu'en
et négative ensuite.
La courbe représentativede
a donc un unique point d'inflexionen
Comme
sur
alors
est décroissante sur
Et comme
alors,
pour tout
on a
Et comme
alors
sur
Solutions de l'équation
est dérivable sur
et
est dérivable sur
et
d'où le tableau de
signes/variations :
affine
Comme
alors
sur
et
est strictement décoroissante
sur
et
Remarque : on peut d'abord démontrer qu'il y a une unique
solution sur
(en cherchant les limites de
en
)
et ensuite qu'elle se trouve dans
ou d'abord montrer
qu'il y en a une unique sur
et ensuite montrer qu'il
n'y en pas d'autres, ce que l'on fait là :
est continue et strictement décroissante sur
donc bijective de
dans
Or
donc l'équation
a
une unique solution
sur
Et comme elle est strictement décroissante sur
elle n'en a
pas d'autres.
Enfin, comme
Conclusion :
l'équation
a une
unique solution
et elle appartient à
On a donc
Pour le tracé, on respectera la concavité
on cherchera la tangente en
Au dessus de la tangente avant, en dessous après
On placera la valeur
à l'intersection
et de
la droite.
Soit
la suite définie par
et pour tout entier
On démontre par récurrence que pour tout entier
Pour
et
donc
Soit
tel que
alors, comme
est
strictement croissante sur
alors
et
Donc pour tout entier
,
et la suite
est bien croissante.
Pour montrer qu'elle converge, il suffit de montrer qu'elle est
majorée par ....
(puisque l'on noous dit qu'elle converge vers
)
Pour
Soit
tel que
alors
car
est strictement
croissante sur
Donc pour tout entier
La suite
est donc croissante et majorée par
Elle converge
donc vers une limite
Comme
est continue sur
elle est continue en
et donc
Donc
(seule solution)
Conclusion :
la suite
converge vers
Il faut ici calculer les termes successifs de la suite de
à
Program suiteu;var u:real;n,i:integer;begin writeln('n?');readln(n); u:=0; for i:=1 to n do u:=f(u); {de u1 à un} writeln(u);end.
Soit
la suite définie par
et pour tout entier
Par récurrence :
Soit
tel que
alors
donc
et donc
Donc pour tout entier
On applique alors l'inégalité des acroissements finis :
sur
et
et
sont éléments de
odnc
donc
On a alors par récurrence :
pour
donc
Soit
tel que
alors
Donc, par récurrence, pour tout entier
Comme
car
alors, par encadrement (
)
et
Conclusion :
quand
Il faut interprèter ici
en disant que l'écart entre
et
est
inférieur à
et donc que
est une valeur
approchée de
à
près.
Le programme calculera donc
(et
) jusqu'à ce
que
soit inférieur à
Program suitev;var v,eps,p:real;begin writeln('epsilon?');readln(esp); v:=1;p:=1; repeat v:=f(v);p:=p/4 until p= eps; writeln('une valeur approchée de alpha est : ',v, '
à ',eps,' près');end.
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