ECE
Soit f la fonction définie sur \BbbR par : f(x)= ex 1+ ex
  1. Etude de f
    1. Etudier les variations de f (en particulier ses limites en ±)
    2. Montrer que, pour tout réel x:f(x)=1-f(-x) et en déduire une symétrie de la courbe représentative de f.
    3. Calculer la dérivée seconde de f et déterminer les points d'inflexion de sa courbe représentative.
    4. Montrer que pour tout x[0,+[ on a f' (x) 1 4
  2. Solutions de l'équation (E):f(x)=x
    1. Montrer que l'équation f(x)=x équivaut à (1-x) ex -x=0
    2. Etudier les variations de la fontion g définie sur \BbbR par g(x)=(1-x) ex -x et en déduire que (E) a une unique solution que l'on notera α et qu'elle appartient à l'intervalle [0,1]
    3. Tracer sur un même graphique la courbe représentative de f et la droite d'équation y=x.
  3. Soit u la suite définie par u0 =0 et pour tout entier n, un+1 =f( un )
    1. Montrer qu'elle est croissante.
    2. Montrer qu'elle converge vers α.
    3. Ecrire un porgrmme en PASCAL qui demande et saisit une valeur n et affiche la valeur de un .
  4. Soit v la suite définie par v0 =1 et pour tout entier n, vn+1 =f( vn )
    1. Montrer que pour tout entier n, vn 0
    2. En déduire que pour tout entier n:| vn -α| 1 4n puis que la suite v converge également vers α.
    3. Ecrire un porgrmme en PASCAL qui demande et saisit une valeur ϵ et affiche une valeur approchée de α à ϵ près.



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On 11 Oct 2005, 22:24.