Corrigé Sr017 par Pierre Veuillez
Soit f la fonction définie sur ]0,+[ par : f(x)=2x+ln(x).
Le but du problème est d'étudier des suites liées à cette fonction.
  1. Etude de f.
    1. f est dérivable sur ]0,+[ et f' (x)=2+ 1 x >0 donc f est strictement croissante sur \BbbR
      lim+ f=+ et lim0 f=-
    2. g(x)=x+ln(x):g est dérivable sur \BbbR et g' (x)=1+ 1 x >0
      Donc g est strictemen croissante sur ]0,+[
      Pour utiliser le théorème de bijection, on détermine g(1)=1+ln(1)>0
      g est continue et dstrictement croissante sur ]0,5;1[
      donc bijective de ]0,5;1[ dans ] lim0,5 f; lim1 f[=]f(0,5);f(1)[
      Or 0]f(0,5);f(1)[
      Donc l'équation g(x)=0 a une unique solution α sur ]0,5;1[ et comme g est strictement croissante sur ]0,+[ elle n'en a pas d'autres
    3. Pour tracer la courbe représentative de f, il faut placer l'intersection avec la droite d'équation y=x entre 0,5 et 1.
      Le signe de g (d'après son sens de variation) place Cf en dessous avant et au dessus après α.
  2. Soit u la suite définie par : u0 =e et pour tout entier n: un+1 =f( un ).
    Soit v la suite définie par : v0 =e et pour tout entier n: vn+1 =2 vn +1.
    1. Par écurrecnce :
      • u0 =ee
      • Soit n\BbbN tel que un e alors un+1 =f( un )f(e)=2e+11 car f est strictement croissante sur ]0,+[
      • Donc pour tout entier n: un e.
    2. La suite v est arithmético-géométrique.
      c=2c+1c=-1 et soit wn = vn -c pour tout n.
      On a wn+1 = vn+1 -c=2 vn +1-(2c+1)=2( vn -c)=2 wn
      La suite w est donc géométrique de raison 2 et wn = 2n w0 = 2n (e-1)
      Et vn = wn +c= 2n (e-1)+1
      Comme 2n 1 alors vn e-1+1
      Conclusion :
      Donc pour tout n, vn e.
    3. On calcule la différence : f(x)-(2x+1)=ln(x)-10 si xe car ln est strictement croissante sur ]0,+[
      Donc si xe alors f(x)2x+1.
    4. Par récurrence :
      • u0 v0
      • Soit n tel que un vn alors un+1 f( un )f( vn )2 vn +1= vn+1
        car on sait que vn 0
      • Donc pour tout entier n, un vn
      Comme 2>1 et que vn = 2n (e-1)+1 alors vn + et par minoration un + également quand n+.
  3. On construit ici une suite qui converge vers α. (récurrence et f()= )
    Soit h la fonction définie sur \BbbR par h(x)= e(- e- x)
    Soit la suite w définie par w0 =0 et pour tout entier n: wn+1 =h( wn ).
    1. α est la solutionde f(x)=x donc 2α+ln(α)=α et ln(α)=-α d'où α= e-α et -α=- e-α , de sorte que e-α = e- e-α et comme α= e-α alors α= e- e-α donc
      Conclusion :
      h(α)=α
    2. Pour tout x réel, on a - ex <0 et donc e- e-x < e0 donc
      Conclusion :
      h(x)<1 pour tout x réel.
    3. k(x)= e- e-x -x: k est dérivable sur \BbbR et k' (x)= e- e-x ×- e-x ×-1-1= e- e-x e-x -1
      k' est dériavble sur \BbbR et k'' (x)= e- e-x e-x e-x + e- e-x ×- e-x = e- e-x e-x ( e-x -1) factorié pour avoir son signe.
      e-x -1>0 e-x >1-x>0x<0 et de même e-x -1<0x>0 et e-x -1=0x=0
      x- 0 + e^-x-1+--k^ ( x) +--k^ ( x) - - - -k( x) + +0 -h( x) x