Sr017
Soit f la fonction définie sur ]0,+[ par : f(x)=2x+ln(x).
Le but du problème est d'étudier des suites liées à cette fonction.
  1. Etude de f.
    1. Etudier le sens de variation de f.
    2. Soit g la fonction définie par g(x)=f(x)-x.
      Déterminer le sens de variation de g.
      On donne g(0,5)<0. Montrer que l'équation g(x)=0 a une unique solution et qu'elle appartient à ]0,5;1[. On la note α.
    3. Tracer la courbe représentative de f et la droite d'équation y=x.
  2. Soit u la suite définie par : u0 =e et pour tout entier n: un+1 =f( un ).
    Soit v la suite définie par : v0 =e et pour tout entier n: vn+1 =2 vn +1.
    1. Montrer que pour tout entier n: un e.
    2. Déterminer vn en fonction de n et montrer que pour tout n, vn e.
    3. Montrer que si xe alors f(x)2x+1.
    4. En déduire que pour tout entier n: un vn et déterminer la limite de un quand n tend vers +.
  3. On construit ici une suite qui converge vers α. (récurrence et f()= )
    Soit h la fonction définie sur \BbbR par h(x)= e(- e- x)
    Soit la suite w définie par w0 =0 et pour tout entier n: wn+1 =h( wn ).
    1. Montrer que h(α)=α
    2. Montrer que h(x)<1 pour tout x réel.
    3. Etudier les variatinos de k(x)=h(x)-x
      en déduire son signe sur \Bbb R+
    4. Montrer que w est croissante et majorée par α
    5. Montrer qu e w converge vers
  4. Majoration de l'écart entre wn et α. (IAF)
    1. Montrer que h'' 0 sur [0,+[.
    2. En déduire que pour tout x de [0,+[:| h' (x)| e-1 .
    3. E,n déduire que pour tout entier n:0α- wn e-n
  5. Programmation :
    Ecrire un programme en PASCAL qui saisit une valeur eps puis calcule les termes wn de la suite w jusqu'a ce que α- wn eps et qui affiche les valeurs de wn et de n ainsi trouvées.



File translated from TEX by TTM, version 3.68.
On 11 Oct 2005, 22:23.