Corrigé EDHEC 2002 par Pierre Veuillez



On note f la fonction définie sur par : { x > 0 , f ( x ) = x ln x 1 + x 2 f ( 0 ) = 0

    1. Sur + * on a f ( x ) = x ln x 1 + x 2 donc f est continue comme quotient de fonctions continues ( 1 + x 2 0 )

      En 0 : pour x > 0 : x ln ( x ) = ln ( x ) / ( 1 / x ) 0 quand x 0 car ln ( x ) = o ( 1 / x ) donc f ( x ) 0 = f ( 0 ) quand x tend 0 et f est continue en 0.

      Donc f est continue sur +

    2. Pour x > 0 : f ( x ) = x ln x 1 + x 2 d'où le tableau de signes :

      x 0 1 +
      x 0
      ln ( x ) || 0 +
      f ( x ) 0 + 0

  1. Comme f est continue sur + alors pour tout x positif, f est continue sur [ 0 , x ] et 0 x f ( t ) t est bien définie.

    Donc F est bien définie sur +

  2. Pour tout x de + , on pose : g ( x ) = F ( x ) x .

    1. Comme f est continue sur + alors x 0 x f ( t ) t est une primitive de f .

      Donc g est dérivable sur + et g ( x ) = f ( x ) 1

      Donc pour x > 0 g ( x ) = x ln ( x ) 1 + x 2 1 = x ( ln ( x ) + 1 x + x ) 1 + x 2 = x h ( x ) 1 + x 2 avec h ( x ) = ln ( x ) + 1 x + x

    2. h est dérivable sur ] 0 , + [ et h ( x ) = 1 x 1 x 2 + 1 = 1 + x + x 2 x 2

      1 + x + x 2 est polynôme du second degré qui a pour discriminant Δ = 1 + 4 = 5 et pour racines α = 1 + 5 2 et β = 1 5 2 < 0

      En 0 + : h ( x ) = 1 x ( ln ( x ) 1 / x + 1 + x 2 ) + car ln ( x ) = o ( 1 / x )

      En + : h ( x ) = ln ( x ) + 1 x + x +

      En α : h ( α ) = ln ( 5 1 2 ) + 5 1 2 + 2 5 1 une valeur numérique serait la bienvenue, mais on n'a pas de calculatrice ...

      On bricole : 5 4 = 2 donc 5 1 1 et 5 1 2 = 1 2 5 1 2 0 , 5

      Donc ln ( 5 1 2 ) + 5 1 2 0 d'après la valeur numérique fournie. Et h ( α ) > 0

      x 0 α +
      h ( x ) 0 +
      h ( x ) + + +
      x 0
      g ( x ) 1
      g ( x ) 0

    3. Donc g < 0 sur ] 0 , + [ et nulle en 0.

      N.B. on a donc F ( x ) x pour tout x 0

  3. On définit la suite ( u n ) par la donnée de son premier terme u 0 = 1 et la relation de récurrence, valable pour tout entier n de : u n + 1 = F ( u n )

    1. Par récurrence, en prenant l'image par F pour passer d'une étape à la suivante.
      F = f donc F 0 sur [ 0 , 1 ] et F y est croissante.

      • On a u 0 [ 0 , 1 ]

      • Soit n tel que u n [ 0 , 1 ] alors 0 u n 1 et comme F est croissante sur [ 0 , 1 ] ,
        F ( 0 ) F ( u ) F ( 1 ) avec F ( 0 ) = 0 0 = 0 et F ( 1 ) 1 d'après le signe de g .
        Donc 0 u n + 1 1

      • Donc pour tout entier n , u n [ 0 , 1 ]

      N.B. pour la récurrence, il ne suffit pas d'avoir u n 0 car f n'est positive que sur [ 0 , 1 ]

    2. On vient de voire que u n [ 0 , 1 ] donc u n 0 et u n + 1 = F ( u n ) u n (signe de g sur + )

      Et ( u n ) est décroissante.

    3. u est décroissante et minorée par 0 donc convergente. vers une limite 0

      Comme F est continue sur + et que + alors F est continue en donc F ( ) = .

      Or F ( x ) < x pour tout x > 0 donc ne peut pas être strictement positive et finalement,
      Conclusion :

      u n 0 quand n +