EDHEC 2002



On note f la fonction définie sur par : { x > 0 , f ( x ) = x ln x 1 + x 2 f ( 0 ) = 0

    1. Vérifier que f est continue sur + .

    2. Etudier le signe de f ( x ) .

  1. Montrer que l'on définit bien une fonction F sur + , en posant: x + , F ( x ) = 0 x f ( t ) t

  2. Pour tout x de + , on pose : g ( x ) = F ( x ) x .

    1. Montrer que g est dérivable sur + et que, pour x > 0 , on peut écrire g ( x ) sous la forme g ( x ) = x h ( x ) 1 + x 2

    2. Etudier les variations de h , puis en déduire son signe (on donne ln 5 1 2 0 , 48 ).

    3. En déduire le signe de g ( x ) .

  3. On définit la suite ( u n ) par la donnée de son premier terme u 0 = 1 et la relation de récurrence, valable pour tout entier n de : u n + 1 = F ( u n )

    1. Etablir par récurrence que : n u n [ 0 , 1 ] .

    2. Montrer, en utilisant le résultat de la troisième question, que ( u n ) est décroissante.

    3. En déduire que la suite ( u n ) converge et donner lim n + u n .