Corrigé EDHEC 2003
par Pierre Veuillez
x
-
∞
-
0
+
+
∞
e
x
-
1
↗
-
0
+
↗
\dfrac
e
x
-
1
x
+
0
+
donc
∀
x
∈
\mathbb
R
*
,
\dfrac
e
x
-
1
x
>
0
.
On considère la fonction
f
définie sur
\mathbb
R
par :
{
f
(
x
)
=
ln
(
\dfrac
e
x
-
1
x
)
si
x
≠
0
f
(
0
)
=
0
f
est continue sur
\Bbb
R
*
car
x
≠
0
et
\dfrac
e
x
-
1
x
>
0
comme composée de fonctions continues.
En
0
:
e
x
-
1
\thicksim
x
donc
\dfrac
e
x
-
1
x
→
1
et
ln
(
\dfrac
e
x
-
1
x
)
→
0
donc
f
(
x
)
→
f
(
0
)
donc
f
est continue en 0
Finalement,
f
est continue sur
\Bbb
R
.
f
est de classe
C
1
sur
]
-
∞
;
0
[
et sur
]
0
;
+
∞
[
comme composée de fonctions
C
1
et
f
'
(
x
)
=
1
\dfrac
e
x
-
1
x
e
x
x
-
(
e
x
-
1
)
x
2
=
e
x
(
x
-
1
)
+
1
x
(
e
x
-
1
)
pour tout
x
de
\mathbb
R
*
.
On utilise le développment limité de
exp
en
0
:
e
x
=
1
+
x
+
x
2
2
+
x
2
ϵ
(
x
)
avec
ϵ
(
x
)
→
0
quand
x
→
0
Pour
x
≠
0
on a :
f
'
(
x
)
=
e
x
(
x
-
1
)
+
1
x
(
e
x
-
1
)
=
(
1
+
x
+
x
2
2
+
x
2
ϵ
(
x
)
)
(
x
-
1
)
+
1
x
(
1
+
x
+
x
2
2
+
x
2
ϵ
(
x
)
-
1
)
=
x
+
x
2
-
1
-
x
-
x
2
2
+
x
2
ϵ
2
(
x
)
+
1
x
2
(
1
+
ϵ
1
(
x
)
)
=
x
2
2
+
x
2
ϵ
2
(
x
)
x
2
(
1
+
ϵ
1
(
x
)
)
=
1
2
+
ϵ
2
(
x
)
1
+
ϵ
1
(
x
)
→
1
2
quand
x
→
0
Donc
f
est continue su
\Bbb
R
, de classe
C
1
sur
\Bbb
R
*
et en
0
et
f
'
(
x
)
→
1
/
2
donc
f
est
C
1
sur
\Bbb
R
et
f
'
(
0
)
=
1
/
2
Etudier les variations de la fonction
g
définie par :
∀
x
∈
\Bbb
R
,
g
(
x
)
=
x
e
x
-
e
x
+
1
g
est dérivable sur
\Bbb
R
et
g
'
(
x
)
=
x
e
x
+
e
x
-
e
x
=
x
e
x
d'où ses variations :
x
-
∞
-
0
+
+
∞
g
'
(
x
)
+
0
-
g
(
x
)
↘
+
0
+
↗
et son signe
Comme, pour
x
≠
0
:
f
'
(
x
)
=
\dfrac
g
(
x
)
x
(
e
x
-
1
)
alors
x
-
-
0
+
+
g( x)
+
0
+
e^x-1
-
0
+
f^ ( x)
+
1/2
+
f( x)
-
-
0
+
+