Corrigé EDHEC 2003 par Pierre Veuillez
  1. x - - 0 + +
    ex -1 - 0 +
    \dfrac ex -1x + 0 +
    donc x \mathbbR* ,   \dfrac ex -1x>0.
    On considère la fonction f définie sur \mathbbR par : { f(x)=ln(\dfrac ex -1x) si x0 f(0)=0
  2. f est continue sur \Bbb R* car x0 et \dfrac ex -1x>0 comme composée de fonctions continues.
    En 0: ex -1\thicksimx donc \dfrac ex -1x1 et ln(\dfrac ex -1x)0 donc f(x)f(0) donc f est continue en 0
    Finalement, f est continue sur \BbbR.
  3. f est de classe C1 sur ]-;0[ et sur ]0;+[ comme composée de fonctions C1 et
    f' (x) = 1 \dfrac ex -1x ex x-( ex -1) x2 = ex (x-1)+1 x( ex -1)

    pour tout x de \mathbbR* .
    1. On utilise le développment limité de exp en 0 : ex =1+x+ x2 2 + x2 ϵ(x) avec ϵ(x)0 quand x0
      Pour x0 on a :
      f' (x)= ex (x-1)+1 x( ex -1) = (1+x+ x2 2 + x2 ϵ(x))(x-1)+1 x(1+x+ x2 2 + x2 ϵ(x)-1) = x+ x2 -1-x- x2 2 + x2 ϵ2 (x)+1 x2 (1+ ϵ1 (x)) = x2 2 + x2 ϵ2 (x) x2 (1+ ϵ1 (x)) = 1 2 + ϵ2 (x) 1+ ϵ1 (x) 1 2 quand x0

    2. Donc f est continue su \BbbR, de classe C1 sur \Bbb R* et en 0 et f' (x)1/2 donc f est C1 sur \BbbR et f' (0)=1/2
    1. Etudier les variations de la fonction g définie par : x\BbbR,  g(x)=x ex - ex +1
      g est dérivable sur \BbbR et g' (x)=x ex + ex - ex =x ex d'où ses variations :
      x - - 0 + +
      g' (x) + 0 -
      g(x) + 0 +
      et son signe
    2. Comme, pour x0: f' (x)=\dfracg(x)x( ex -1) alors x - - 0 + + g( x) + 0 + e^x-1 - 0 + f^ ( x) + 1/2 + f( x) - - 0 + +