EDHEC 2003
  1. Montrer que : x \mathbbR* ,   \dfrac ex -1x>0.
    On considère la fonction f définie sur \mathbbR par : { f(x)=ln(\dfrac ex -1x) si x0 f(0)=0
  2. Montrer que f est continue sur \mathbbR.
  3. Montrer que f est de classe C1 sur ]-;0[ et sur ]0;+[, puis préciser f' (x) pour tout x de \mathbbR* .
    1. Montrer que lim x0 f' (x)=\dfrac12.
    2. En déduire que f est de classe C1 sur \mathbbR et donner f' (0).
    1. Etudier les variations de la fonction g définie par : x\BbbR,  g(x)=x ex - ex +1
    2. En déduire le signe de (x), puis dresser le tableau de variations de f (limites comprises).
    On considère la suite ( un ) définie par la donnée de son premier terme u0 >0 et par la relation, valable pour tout entier naturel n : un+1 =f( un ).
  4. Montrer que : n\mathbbN,    un >0.
    1. Vérifier que : x\mathbbR,   f(x)-x=f(-x).
    2. En déduire le signe de f(x)-x sur \mathbbR + * .
    3. Montrer que la suite ( un ) est décroissante.
  5. En déduire que ( un ) converge et donner sa limite.
  6. Écrire un programme en Pascal permettant de déterminer et d'afficher le plus petit entier naturel n pour lequel un \leqslant 10-3 , dans le cas où u0 =1.



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On 11 Oct 2005, 22:23.