HEC 2003
Partie A : Étude d'une fonction
On suppose, dans cette question, qu'il existe une fonction f de classe C1 sur les intervalles ]-,0[ et ]0,1[, vérifiant pour tout réel x appartenant à ]-,0[]0,1[, l'égalité :
x(1-x) f' (x)+(1-x)f(x)=1

Soit h la fonction définie sur ]-,0[]0,1[, par:   h(x)=xf(x).
Montrer que h est de classe C1 sur les intervalles ]-,0[, ]0,1[ et calculer sa dérivée.
En déduire qu'il existe deux constantes réelles c1 et c2 vérifiant
{ x]-,0[,h(x)=-ln(1-x)+ c1 x]0,1[,h(x)=-ln(1-x)+ c2

  1. On définit une fonction f sur les intervalles ]-,0[ et ]0,1[ par:
    { x]-,0[,f(x)=\dfrac-ln(1-x)+ c1 x x]0,1[,f(x)=\dfrac-ln(1-x)+ c2 x

    c1 et c2 sont deux constantes réelles.
    Déterminer les constantes c1 et c2 pour que la fonction f soit prolongeable par continuité en 0.
  2. Dans toute la suite de cette partie, f désigne la fonction définie sur ]-,1[ par:
    { f(x)=-\dfracln(1-x)x si x0 f(0)=1

    1. Donner le développement limité en 0 à l'ordre 3 de la fonction   xln(1-x) puis le développement limité en 0 à l'ordre 2 de la fonction x- ln(1-x) x   
    2. En déduire que la fonction f est continue en 0, dérivable en 0 et préciser la valeur de f' (0).
    3. Montrer que, pour tout x de ]-,0[]0,1[, on a:
      f' (x)=( 1 1-x -f(x)) 1 x

      En utilisant le développement limité de la question précédente, montrer que f est de classe C1 sur ]-,1[.
    1. Étudier le signe de la fonction ϕ définie sur ]-,1[ par:   ϕ(x)=\dfracx1-x+ln(1-x)  
      En déduire les variations de la fonction f
    2. Donner le tableau de variation de la fonction f et l'allure de la représentation graphique de f en précisant les asymptotes, la tangente à l'origine et la position de la courbe par rapport à cette tangente au voisinage de l'origine.
  3. Soit x un réel de l'intervalle ]0,1[.
    1. Soit h la fonction définie sur ]-,1[ par:   h(t)=-ln(1-t) .
      Calculer, pour tout réel t de ]-,1[, h' (t),   h'' (t), puis pour tout entier naturel n non nul, h(n) (t).
    2. Justifier, pour tout entier naturel n, l'égalité:
      h(x)= k=1 n+1 xk k + 0 x (x-t )n+1 (1-t )n+2    d t

    3. Établir, pour tout réel t de l'intervalle [0,x], la double inégalité:  0\leqslant\dfracx-t1-t\leqslantx  
      En déduire, pour tout entier naturel n non nul, la double inégalité:
      0\leqslantf(x)- k=0 n xk k+1 \leqslant xn+1 f(x)

    4. Justifier l'égalité:       f(x)= n=0 xn n+1

 Partie B : Étude d'une variable aléatoire à densité
  1. Dans cette question f est la fonction définie à la question 2 de la partie A.
    1. Soit f1 la fonction définie sur ]0,1] par :  { f1 (t)=\dfraclntt-1 si t1 f1 (1)=1
      Justifier la continuité de f1 sur ]0,1] et établir, pour tout réel x de ]0,1[, l'égalité:
      0 x f(t) d t= 1-x 1 f1 (t) d t

    2. Soit a un réel de l'ntervalle ]0,1[. Établir pour tout entier naturel n, l'égalité:
      a 1 tn lnt d t=- an+1 lna n+1 - 1 (n+1 )2 (1- an+1 )

      En déduire la convergence de l'intégrale  0 1 tn lnt d t et l'égalité:    0 1 tn lnt d t=- 1 (n+1 )2   \cdotp
    3. Soit a un réel de l'intervalle ]0,1[ et n un entier naturel, démontrer pour tout t de [a,1], l'égalité
      a 1 f1 (t) d t+ k=0 n a 1 tk lnt d t= a 1 tn+1 f1 (t) d t

    4. Montrer que la fonction tt f1 (t) est prolongeable en une fonction h1 continue sur [0,1].
      En déduire que l'intégrale   0 1 f1 (t) d t converge et qu'elle vérifie:
      0 1 f1 (t) d t= k=0 n 1 (k+1 )2 + 0 1 tn h1 (t) d t

    5. On désigne alors par M le maximum sur [0,1] de la fonction h1 .
      Établir, pour tout entier naturel n, l'inégalité:
      0\leqslant 0 1 f1 (t) d t- k=0 n 1 (k+1 )2 \leqslant M n+1

    6. Justifier la convergence de la série de terme général \dfrac1 n2  ,  puis l'égalité:  
      0 1 f(t) d t= n=1 1 n2   
  2. On donne:   n=1 1 n2 = π2 6  et on désigne par g la fonction définie sur \mathbb par:
    { g(t)=\dfrac6 π2 f(t) si    t[0,1[ g(t)=0 sinon

    1. Vérifier que g est une densité de probabilité.
    2. Soit X une variable aléatoire ayant pour densité g.
      Vérifier, pour tout réel x de ]0,1[, l'égalité   0 x ln(1-t) d t= 1-x 1 lnt d t
      Utiliser alors le résultat de la question 1.b) pour prouver que X possède une espérance et la calculer.
    3. Par une méthode analogue, montrer que l'intégrale   0 1 (t-1)ln(1-t) d t est égale à \dfrac14  
      En déduire que laa variable aléatoire X2 admet une espérance, préciser sa valeur et calculer la variance de la variable aléatoire X.
Partie C : Encadrement d'une fonction de deux variables
Dans cette partie, on désigne par V l'ensemble ouvert défini par:
V={(x,y)\mathbb 2 ;  -\dfrac12<x<\dfrac12,  -\dfrac12<y<\dfrac12}

  1. Soit u la fonction de V dans \mathbb :    (x,y)u(x,y)= xy2 + x2 + y2 +\dfrac14.
    1. Montrer que la fonction u admet un minimum sur V dont on précisera la valeur, mais n'admet pas de maximum.
    2. Montrer que la fonction u est majorée par \dfrac78 sur l'ouvert V.
  2. Soit F la fonction :       (x,y)F(x,y)=\dfracln(\dfrac34- xy2 - x2 - y2 )\dfrac14+ xy2 + x2 + y2   
    1. À l'aide des résultats de la partie A, montrer que F est définie sur l'ouvert V et qu'elle y admet un maximum. Préciser la valeur de ce maximum.
    2. Donner un encadrement de F(x,y) pour tout (x,y) de V.



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On 18 May 2004, 00:02.