ECRICOME 2005

On considère la fonction f définie par : { x + * , f ( x ) = x 2 x ln ( x ) 1 f ( 0 ) = 1 le tableau de valeurs de f , x 0 , 5 1 1 , 5 2 2 , 5 3 3 , 5 4 f ( x ) 0 , 5 0 0 , 6 1 , 6 3 4 , 7 6 , 9 9 , 5 ainsi que les fonctions ϕ et g définies par : x + * , ϕ ( x ) = 2 x + ln ( x ) , ( x , y ) 2 , g ( x , y ) = x e y y e x

Etude de deux suites associées à f .

  1. Montrer que f est continue sur + .

  2. Etudier la dérivabilité de la fonction f en 0. En donner une interprétation graphique.

  3. Etudier la convexité de f sur + * , puis dresser son tableau de variations en précisant la limite de f ( x ) lorsque x tend vers l'infini.

  4. Etudier la nature de la branche infinie.

  5. Montrer que f réalise une bijection de + * sur un intervalle J que l'on précisera.

  6. Quel est le sens de variation de f 1 ? Déterminer la limite de f 1 ( x ) lorsque x tend vers l'infini.

  7. Justifier que pour tout entier naturel k , il existe un unique réel x k positif tel que : f ( x k ) = k

    1. Donner la valeur de x 0 .

    2. Utiliser le tableau de valeurs de f pour déterminer un encadrement de x 1 et x 2 .

    3. Exprimer x k à l'aide de f 1 puis justifier que la suite ( x k ) est croissante et déterminer sa limite lorsque k tend vers l'infini.

  8. On définit la suite ( u n ) par : { u 0 = 3 2 n , u n + 1 = ϕ ( u n )

    1. Etudier les variations de ϕ sur + * .

    2. On donne ϕ ( 3 2 ) 1 , 73 et ϕ ( 2 ) 1 , 69 . Montrer que ϕ ( [ 3 2 , 2 ] ) [ 3 2 , 2 ]

    3. En étudiant les variations de ϕ , montrer que : x [ 3 2 , 2 ] | ϕ ( x ) | 2 9

    4. Montrer que les équations x = ϕ ( x ) et f ( x ) = 1 sont équivalentes. En déduire que le réel x 1 est l'unique solution de l'équation : x = ϕ ( x )

    5. Montrer successivement que pour tout entier n :

      3 2 u n 2 | u n + 1 x 1 | 2 9 | u n x 1 | | u n x 1 | ( 2 9 ) n

    6. En déduire la limite de la suite ( u n ) .

Recherche d'extremum éventuel de g .

  1. Calculer les dérivées partielles premières de la fonction g .

  2. Montrer que si g admet un extremum local en ( a , b ) de 2 alors : { a b = 1 a = e a 1 a En déduire que nécessairement : { a > 0 a b = 1 f ( a ) = 0 et donc que le seul point où g peut admettre un extremum est le couple ( 1 , 1 )

  3. Calculer les réels : r = 2 g x 2 ( 1 , 1 ) , s = 2 g x y ( 1 , 1 ) , t = 2 g y 2 ( 1 , 1 )

  4. La fonction g admet-elle un extremum local sur 2 ?