Corrigé EDHEC 2000 par Pierre Veuillez

  1. e x e x > 0 e x ( e 2 x 1 ) > 0 et comme x e 2 x 1 est croissante sur et nulle en0 : e x e x > 0 x > 0

    Donc D = + *

    On définit la fonction f par : x D , f ( x ) = ln ( e x e x ) .

    On note ( C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O , ı , ȷ ) .

    1. f est dérivable sur f ( x ) = e x + e x e x e x > 0  sur  D > 0

      En 0 : ln ( e x e x ) et en + : ln ( e x e x ) +

      Avec f strictement croissante sur D

    2. Comme f est continue et strictement croisante sur l'ntervalle D = ] 0 , + [ elle est bijective de D dans ] lim 0 f , lim + f [ = .

      Et comme 0 l'éqution f ( α ) = 0 a une unique solution.

      On résout : ln ( e x e x ) = 0 e x e x = 1 e 2 x 1 = e x e 2 x e x 1 = 0

      Soit X = e x .

      L'éqution X 2 X 1 = 0 du second degré a pour discriminant : 5 et pour racines : 1 5 2 < 0 et 1 + 5 2 > 0

      Donc l'unique solution est α = ln ( 1 + 5 2 )

    3. La pente vaut : f ( α ) = e α + e α e α e α et comme e α e α = 1 il reste : e α + e α = 1 + 5 2 + 2 1 + 5 = 6 + 2 5 + 4 2 ( 1 + 5 ) = ( 5 + 5 ) ( 1 5 ) ( 1 + 5 ) ( 1 5 ) = 4 5 4 = 5

      donc le coefficient directeur de la tangente ( T ) à la courbe ( C ) au point d'abscisse α vaut 5 .

    1. On factorise dans le ln : f ( x ) x = ln ( e x ( 1 e 2 x ) ) x = x + ln ( 1 e 2 x ) x 0

    2. On a donc une asymptote d'équation y = x en +

    3. et comme f ( x ) x = ln ( 1 e 2 x ) < 0 car 1 e 2 x < 1 alors la courbe de f est en dessous de l'asymptote

  2. Donner l'allure de la courbe ( C ) en faisant figurer les droites ( Δ ) et ( T ) .

    Il faut faire figurer sur la courbe

    1. h est dérivable sur D et h ( x ) = e x + e x e x e x 1 = 2 e x e x e x = 2 e 2 x 1 et on reconnait presau une primitive de g λ

      Pour λ > 0 on a g λ 0 et continue sur { α }

      + est impropre en et en + :

      • En : α g = α 0 = 0 (converge et )

      • En + : α M g ( t ) t = [ λ 2 h ( x ) ] α M = λ 2 ( h ( M ) h ( α ) )

        Or h ( α ) = f ( α ) α = α et f ( M ) M 0 quand M + (asymptopte)

        Donc α M g ( t ) t λ α 2

      • Donc + g converge et vaut λ α 2

      Donc g λ es tune densité si et seulement si λ = 2 / α

    2. On a G λ ( t ) = 0 si t α et G λ ( t ) = 1 α ( h ( t ) + α ) si t α