EDHEC 2000

  1. Déterminer l'ensemble D des réels tels que e x e x > 0 .

    On définit la fonction f par : x D , f ( x ) = ln ( e x e x ) .

    On note ( C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O , ı , ȷ ) .

    1. Étudier les variations de f et donner les limites de f aux bornes de D .

    2. En déduire l'existence d'un unique réel α vérifiant f ( α ) = 0 , puis donner la valeur exacte de α .

    3. Montrer que le coefficient directeur de la tangente ( T ) à la courbe ( C ) au point d'abscisse α vaut 5 .

    1. Calculer lim x + ( f ( x ) x ) .

    2. En déduire l'équation de l'asymptote ( Δ ) à la courbe ( C ) au voisinage de + .

    3. Donner la position relative de ( Δ ) et ( C ) .

  2. Donner l'allure de la courbe ( C ) en faisant figurer les droites ( Δ ) et ( T ) .

    On admettra que α 0 , 5 et que 5 2 , 2 .

  3. Soit λ un réel, on note g λ la fonction définie par : { g λ ( x ) = 0 si x < α g λ ( x ) = λ e 2 x 1 si x α .

    1. On pose h ( x ) = f ( x ) x . Après avoir calculer h ( x ) , déterminer λ en fonction de α pour que g λ soit une densité de probabilité d'une certaine variable aléatoire X .

    2. Donner la fonction de répartition G λ de X .ECE