On pose pour tout entier naturel n non nul l'intégrale:
On peut intègrer par parties :
et
ce qui conduira à une
relation entre
et
ou plus rapidement :
quand
donc l'intégrale
est divergente.
Soit
et
on a
et
avec
et
et comme
quand
on
a donc
et
est
convergente et vaut
est dérivable sur
et
Comme
est décroissante sur
et qu'elle est nulle en
elle est strictement
négative sur
donc sur
En
on a
donc
et
0
Comme
est positive et
décroissante et que
est convergente, alors par comparaison entre
série et intégrale impropress la série
converge.
On considère la fonction g définie sur
par:
g est connitnue sur
et sur
comme quotient de fonctions continues.
En
on a: pour
et
donc
est continue en
et
donc sur
De plus
sur
Reste enfin à étuddier la convergence de
(intégrale convergente d'après
la question précédente )
Donc
est bien une densité de probabilité.
On nomme dans toute la suite X une variable
aléatoire admettant la densité g.
a une espérance si
converge :
(intégrale convergente)
Donc
a une espérance et
a une espérance si
a une espérance : si
converge; Or
or
est divergente donc
n'a pas
d'espérance et
pas de variance.
Etude d'une variable discrète définie à partir de
.
On considère la fonction
définie sur
par
est dérivable sur
et sur
.
est dérivable en 1 si elle a une dérivée a droite et à
gauche et que ces dérivées sont égales.
Elle est dérivable en
comme quotient de fonctions continues et
pour
En
on peut revenir au taux d'acroissement :
pour
donc
est dérivable à gauche de
et
ou on peut utiliser le théorème de prolongement :
pour
donc
est
continue en
et
Donc
est dérivable à gauche en
et
D'une façon au d'une autre
est donc dérivable également en 1.
Finalement
est dérivable sur
de classe
sur
et
pour
et
Donc
est la fonction de répartition d'une varaibale aléatoire de
densité
donc de
On note
la variable aléatoire discrète définie
par:
On rappelle que si
On a
et comme
on a alors :
Preuve par récurrence :
Pour
et
donc l'égalité est vérifiée.
Soit
tel que
alors
et par l'autre membre :
Et par récurence, pour tout entier naturel
:
On a
car
quand
donc
est équivalent en
à
Dans la somme partielle
on a :
par comparaison de séries à termes positifs, comme
converge alors la série
converge et
donc également (en réindexant) la série
de plus
car
et
donc
a une limite
finie quand
tend vers
et
a une espérance.
(ESC 2001)
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