(ESC 2001)

  1. On pose pour tout entier naturel n non nul l'intégrale: I n = 1 + l n ( t ) t n    t

    1. Calculer pour A 1 l'intégrale 1 A l n ( t ) t    t et en déduire que I 1 est divergente.

    2. Montrer grâce à une intégration par parties que pour tout entier n 2 , l'intégrale I n converge et vaut 1 ( n 1 ) 2

    3. Etudier les variations de la fonction f définie sur [ 2 ; + [ par f ( t ) = l n ( t ) t 2

      et donner sa limite en + . (On donne e 1 , 65 )

    4. En déduire grâce à I 2 , que k = 2 + l n ( k ) k 2 converge (On ne cherchera pas à calculer cette série).

  2. On considère la fonction g définie sur par: { g ( t ) = 0    si    t < 1 g ( t ) = 4 l n ( t ) t 3    si    t 1

    1. Montrer que g est continue sur et constitue une densité de probabilité. ( On utilisera les résultats de la question 1(b).)

      On nomme dans toute la suite X une variable aléatoire admettant la densité g.

    2. Etudier l'existence et la valeur éventuelles de l'espérance E ( X ) .

    3. La variable X admet-elle une variance ?

  3. Etude d'une variable discrète définie à partir de X .

    1. On considère la fonction G définie sur par { G ( t ) = 0    si    t < 1 G ( t ) = 1 2 l n ( t ) t 2    1 t 2 si    t 1

      Montrer que G est dérivable sur puis justifier que G est la fonction de répartition de la variable aléatoire X .

      On note Z la variable aléatoire discrète définie par: Z ( Ω ) = N et    Z = [ X ] partie entière de X On rappelle que si x + e t    k N ,    [ x ] = k k x < k + 1.

    2. Montrer que pour tout entier naturel k, P ( Z = k ) = G ( k + 1 ) G ( k ) .

    3. En déduire par récurrence sur l'entier naturel n que : k = 0 n k P ( Z = k ) = ( n + 1 ) [ 1 G ( n + 1 ) ] + k = 0 n ( 1 G ( k + 1 ) )

    4. Montrer que ( 1 G ( k ) ) est équivalent en + à 2 l n k k 2

    5. Déduire de l'ensemble des résultats obtenus que Z admet une espérance.

(ESC 2001)