Corrigé (ECRICOME 1997) par Pierre Veuillez
Dans tout le problème (qui comporte deux parties indépendantes), on suppose que la durée, exprimée en minutes, d'une communication téléphonique est une variable aléatoire réelle D qui suit la loi exponentielle de paramètre α
I Comparaison de deux tarifications
  1. Pour ses communications, on propose à l'utilisateur d'une ligne téléphonique deux tarifications T1 et T2 , exprimées en francs, définies de la façon suivante :
  1. Comme D suit une loi exponentielle, On a E(D)=1/α donc E( T1 )=aE(D)=a/α
  2. On a pour tout entier n * :
    p( T2 =n) = p(n-1<Dn) = n-1 n α e-αt dt= [- e-αt ]n-1 n = e-α(n-1) - e-αn = ( e-α )n-1 (1- e-α )

    Donc T2 G(1- e-α ) et E( T2 )= 1 1- e-α
  3. On pose :
    { t + * :ϕ(t)= t 1- e-t ϕ(0)=1

    1. ϕ est de calsse C1 sur ]0,+[ comme quotient de fonction C1
      En 0 : on peut passer par le théorème de prolongement qui demande la continuité de ϕ d'abord puis la limite de la dérivée.
      ou revenir au taux d'accroissement puis prouver la continuité de la dérivée.
      par le prolongement :
      comme ex -1\thicksimx quand x0 alors e-t -1\thicksim-t donc -t e-t -1 1 et ϕ(t)1 donc ϕ est continue sur +
      ϕ est dérivable sur ]0,+[ et pour avoir la limite de ϕ' en 0 on efffectue un développement limité :
      (onsubsitue -t à x dans le DL ex =1+x+ x2 /2+ x2 ϵ(x) avec ϵ(x)0. On prend le DL d'ordre 2 car celui d'ordre 1 au numérateur laissaitune forme indéterminée ϵ(t)/t)
      ϕ' (t) = 1- e-t -t(- e-t (-1)) (1- e-t )2 = 1-(1+t) e-t (-1+ e-t )2 = 1-(1+t)(1-t+\dfrac t2 2+ t2 ϵ(t)) (1-1-t-t ϵ1 (t))2 = 1-(1- t2 /2+ t2 ϵ2 (t)) (-t-t ϵ1 (t))2 = t2 /2- t2 ϵ2 (t) t2 (1+ ϵ1 (t))2 = \dfrac12- ϵ2 (t) (1+ ϵ1 (t))2 1 2

      avec ϵ,   ϵ1 et ϵ2 qui tendent vars 0 en 0.
      Comme ϕ est continue en 0 et que ϕ' 1/2 alors ϕ est dérivable en 0, ϕ' (0)=1/2 et ϕ' est continue en 0.
      Donc ϕ est de classe C1 en 0 donc sur [0,+[
    2. On a pour t>0: ϕ' (t)= 1-(1+t) e-t (-1+ e-t )2 = ψ(t) (-1+ e-t )2 qui est donc du signe de ψ(t)
      ψ est dérivable sur et ψ' (t)=- e-t -(1+t) e-t (-1)= te-t du signe de t
      Donc ψ est strictement croissante sur + et comme ψ(0)=0 on a ψ>0 sur ]0,+[
      Remarque : f est strictement croissante si f est continue sur un intervalle I et f' >0 sauf en un nombre fini de points de I . Il n'est pas nécessaire qu'elle soit dérivable ou que la dérivée soit strictement positive sur tout l'intervalle)
      Finalement ϕ est strictement croissante et continue donc bijective de [0,+[ dans
      [ϕ(0), lim+ ϕ[=[1,+[
      ( ϕ ne donne pas de forme indéterminée en +)
  4. Comparaison des tarifications
    1. Comme a>1 on a a[1,+[ donc il existe un unique α0 [0,+[ tel que ϕ( α0 )=a
    2. Il faut ici comparer les couts moyens des deux facturations :

      E( T2 ) E( T1 ) = 1 1- e-α a α = 1 a α 1- e-α = ϕ(α) a

      Comme la durée moyenne de communication est 1/α,
      • si cette durée moyenne ( 1/α) est supérieure à 1/ α0 alors α< α0 et comme ϕ est strictement croissante sur + on a ϕ(α)>ϕ( α0 )=a donc E( T2 )>E( T1 ) et la première tarifivcation est la plus avantageuse (la moins chère)
      • Inversement, si elle est supérieure à 1/ α0 la seconde tarification est la plus avantageuse.
      La tarificatin à la seconde estdonc interressante pour les communications longues
II Étude d'un standard téléphonique
Dans toute cette partie, θ est un nombre réel strictement positif représentant un temps exprimé en minutes. Un standard téléphonique de capacité illimitée reçoit des communications téléphoniques entre l'instant 0 et l'instant θ inclus.
II A Cas d'une seule communication
On désigne par n un entier naturel non nul. L'instant où débute la communication est une variable aléatoire réelle In telle que :
{ In (Ω)={ θ n , 2θ n ,, (n-1)θ n , nθ n } k[[1,n]]:p( In = kθ n )= 1 n

p désigne la probabilité. De plus In et D (la durée aléatoire de la communication) sont indépendantes.
  1. Soit f la densité de la loi exponentielle de paramètre α.
    On a p(D>t)= t + f(x)dx intégrale impropre en +; Et comme t0
    t A α e-αx dx= [- e-αx ]x=t A = e-αt - e-αA e-αt

    donc p(D>t)= e-αt
  2. On a donc
    p(D+ In >θ  /   In = kθ n )=p(D>θ- kθ n   /   In = kθ n ) =p(D>θ- kθ n ) =p(D>θ(1- k n )) = e-αθ(1-\dfrackn)

    on peut supprimer le conditinnment car D et In sont indépendantes.
  3. On utilise alors la formule des probabilité totales avec pour système complet d'événements : ( In = kθ n )k[[1,n]]
    on a alors
    p(D+ In >θ)= k=1 np(D+ In >θ  /   In = kθ n )·p( In = kθ n ) = k=1 n   e-αθ+αθ\dfrackn 1 n = e-αθ n k=1 n   ( eαθ/n )k = e-αθ n ( e(n+1)αθ/n -1 eαθ/n -1 -1) = e-αθ n ( e(n+1)αθ/n - eαθ/n eαθ/n -1 )= e-αθ eαθ n ( enαθ/n -1 eαθ/n -1 ) = 1 n ( 1- e-αθ 1- e- αθ n )

  4. Comme ex -1\thicksimx quand x 0 et que - αθ n 0 quand n+ alors e-αθ/n -1\thicksim-\dfracαθn
    et
    e-αθ/n -1 -αθ/n = 1- e-αθ/n αθ/n 1

    donc
    p(D+ In >θ)= 1 n ( 1- e-αθ 1- e- αθ n ) = 1- e-αθ αθ αθ/n 1- e-αθ/n 1- e-αθ αθ

    quand n+
    c'est la limite de la probabilité que l'appel se finisse après θ pour des débuts d'appels équirépartis sur [0,θ] (quand n tend vers + chacun des segments [ k n , k+1 n ] était équiprobable)
II B Étude de l'encombrement du standard à l'instant θ
Dans cette partie on définit les nombres réels p et q par :
p= 1- e-αθ αθ  et    q=1-p

On suppose désormais que la probabilité qu'une communication reçue dans l'intervalle de temps [0,θ] se poursuive au-delà de l'instant θ est égale à p.
On note θ la variable aléatoire réelle égale au nombre de communications reçues dans l'intervalle de temps [0,θ] et l'on suppose que θ suit une loi de Poisson de paramètre θ.
On note Cθ la variable aléatoire réelle égale au nombre de communications reçues dans l'intervalle de temps [0,θ] qui se poursuivent au-delà de l'instant θ
Les instants aléatoires où les communications se terminent sont mutuellement indépendant.
  1. Loi de probabilité de Cθ
    1. Quand θ =r: Cθ est le nombre de comunication qui se poursuivent au delà de θ parmi r communications reçues, de fin indépendantes et ayants toutes la mêmes probabilité p de se poursuivre au delà de θ.
      Donc la loi conditionnelle de Cθ sachant que { θ =r} est une loi binômiale de paramètres (r,p)
    2. On a pour r  et   k[[0,r]]:
      p({ Cθ =k}{ θ =r})=p( Cθ =k  /   θ =r)·p( θ =r) = Cr k pk qr-k θr e-θ r! = r! k!(r-k)! pk qr-k θr-k+k e-θ 1 r! = e-θ (pθ)k (qθ)r-k k!(r-k)!

      la loi binômiale étant donnée par cette formule car 0kr
          p({ Cθ =k}{ θ =r})= e-θ (pθ)k (qθ)r-k k!(r-k)!       

    3. On a alors par la formule des probabiltiés totales, avec comme système complet d'événements ( θ =r)r

      p( Cθ =k)= r=0 +p({ Cθ =k}{ θ =r})

      On calcule la somme partielle de cette série en séparant les valeurs rk et r<k
      r=0 Mp({ Cθ =k}{ θ =r})= r=0 k-1p({ Cθ =k}{ θ =r}) + r=k Mp({ Cθ =k}{ θ =r}) =0+ r=k M e-θ (pθ)k (qθ)r-k k!(r-k)! = e-θ (pθ)k k! r=k M (qθ)r-k (r-k)! = e-θ (pθ)k k! i=0 M-k (qθ)i i! e-θ (pθ)k k! eqθ = e(q-1)θ (pθ)k k! = e-pθ (pθ)k k!

      quand M+
      Donc p( Cθ =k)= e-pθ (pθ)k k! pour tout k0 et on reconnait là une loi de Poisson de paramêtre pθ
  2. Étude de l'espérance de Cθ
    1. On a donc E( Cθ )=pθ= 1- e-αθ αθ θ= 1- e-αθ α
    2. Quand θ tend vers + on a e-αθ 0 car α>0 et donc E( Cθ )1/α lorsque θ tend vers +
      On a bien toujours E( Cθ )<1/α.
(ECRICOME 1997)



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On 18 May 2004, 00:02.