(ECRICOME 1997)

Alphabet grec : α : a l p h a    ϕ : p h i    Φ : p h i majuscule     ψ : p s i     θ : t h e t a

Dans tout le problème (qui comporte deux parties indépendantes), on suppose que la durée, exprimée en minutes, d'une communication téléphonique est une variable aléatoire réelle D qui suit la loi exponentielle de paramètre α

I Comparaison de deux tarifications

  1. Pour ses communications, on propose à l'utilisateur d'une ligne téléphonique deux tarifications T 1 et T 2 , exprimées en francs, définies de la façon suivante :

  1. Calculer E ( T 1 ) en fonction de a et de α .

  2. Déterminer la loi de T 2 . De quelle loi s'agit-il ? Exprimer E ( T 2 ) en fonction de α

  3. On pose : { t + * : ϕ ( t ) = t 1 e t ϕ ( 0 ) = 1

    1. Montrer que ϕ est une fonction de classe C 1 sur [ 0 , + [

    2. On définit de plus la fonction ψ sur [ 0 , + [ par : t : ψ ( t ) = 1 ( 1 + t ) e t Utiliser cette fonction pour en déduire que ϕ réalise une bijection de [ 0 , + [ vers [ 1 , + [

  4. Comparaison des tarifications

    1. Montrer qu'il existe un unique réel α 0 strictement positif tel que ϕ ( α 0 ) = a

    2. Préciser quelle est, en moyenne, la tarification la plus avantageuse suivant la valeur de la durée moyenne d'une communication.

II Étude d'un standard téléphonique

Dans toute cette partie, θ est un nombre réel strictement positif représentant un temps exprimé en minutes. Un standard téléphonique de capacité illimitée reçoit des communications téléphoniques entre l'instant 0 et l'instant θ inclus.

II A Cas d'une seule communication

On désigne par n un entier naturel non nul. L'instant où débute la communication est une variable aléatoire réelle I n telle que : { I n ( Ω ) = { θ n , 2 θ n , \dots , ( n 1 ) θ n , n θ n } k [ [ 1 , n ] ] : p ( I n = k θ n ) = 1 n p désigne la probabilité. De plus I n et D (la durée aléatoire de la communication) sont indépendantes.

  1. Pour tout réel positif t , rappeler quelle est l'expression de p ( D > t ) en fonction de t et de α .

  2. En déduire, pour k élément de [ [ 1 , n ] ] la probabilité conditionnelle de { D + I n > θ } sachant { I n = k θ n } .

  3. Démontrer l'égalité suivante : p ( D + I n > θ ) = 1 n ( 1 e α θ 1 e α θ / n )

  4. Déterminer : lim n + p ( D + I n > θ )


II B Étude de l'encombrement du standard à l'instant θ

Dans cette partie on définit les nombres réels p et q par : p = 1 e α θ α θ   et    q = 1 p On suppose désormais que la probabilité qu'une communication reçue dans l'intervalle de temps [ 0 , θ ] se poursuive au-delà de l'instant θ est égale à p .

On note N θ la variable aléatoire réelle égale au nombre de communications reçues dans l'intervalle de temps [ 0 , θ ] et l'on suppose que N θ suit une loi de Poisson de paramètre θ .

On note C θ la variable aléatoire réelle égale au nombre de communications reçues dans l'intervalle de temps [ 0 , θ ] qui se poursuivent au-delà de l'instant θ

Les instants aléatoires où les communications se terminent sont mutuellement indépendant.

  1. Loi de probabilité de C θ

    1. Soit r un entier naturel. Quelle est la loi conditionnelle de C θ sachant que { N θ = r } ?

    2. Démontrer que l'on a : r      k [ [ 0 , r ] ]      p ( { C θ = k } { N θ = r } ) = e θ ( p θ ) k ( q θ ) r k k ! ( r k ) !       

    3. En déduire, pour tout entier naturel k , une expression simple de p ( C θ = k ) en fonction de k , p , et θ . Quelle est la loi de probabilité de C θ ?

  2. Étude de l'espérance de C θ

    1. Déterminer l'expression de E ( C θ ) en fonction de θ et de α .

    2. Quelle est la limite de E ( C θ ) lorsque θ tend vers + ? Vérifier qu'elle majore E ( C θ ) .

(ECRICOME 1997)