Corrigé HEC/CCIP maths II 2002 par Pierre Veuillez

On suppose dans cette partie que T est une variable al\eatoire de densit\e f nulle sur * , continue sur + et strictement positive sur + * .

  1. Loi de survie et coefficient d'avarie

    Pour tout réel t positif, on appelle coefficient d'avarie à l'instant t le nombre π ( t ) défini par: π ( t ) = f ( t ) D ( t )

    1. Soit t un réel positif.

      Pour tout réel strictement positif h , on note q ( t , h ) la probabilité que le composant tombe en panne entre les instants t et t + h sachant qu'il fonctionne encore à l'instant t , c'est-à-dire le nombre q ( t , h ) défini par: q ( t , h ) = p ( [ T ] t , t + h ] / [ T > t ] )

      1. Pour tout réel h strictement positif q ( t , h ) = p ( [ T ] t , t + h ] / [ T > t ] ) = p ( ( T ] t , t + h ] ) ( T > t ) ) p ( T > t ) Or si T ] t , t + h ] alors T > t donc ( T ] t , t + h ] ) ( T > t ) = ( T ] t , t + h ] ) et q ( t , h ) = p ( T ] t , t + h ] ) p ( T > t ) = p ( t < T t + h ) p ( T > t ) = p ( T t + h ) p ( T t ) p ( T > t ) = D ( t ) D ( t + h ) D ( t ) = 1 p ( T t ) [ 1 p ( T t + h ) ] p ( T > t ) = q ( t , h )

      2. On a D ( t ) = 1 F ( t ) avec F la fonction de répartition de T . Or F est dérivable là où densité de T est continue. Donc F et D sont dérivables sur + ( il faudrait que la lmite en 0 + soit nulle pour que f soit contiue en 0 )

        Et D ( t ) = F ( t ) = f ( t )

      3. On calcule ce rapport en faisant apparaitre le taux d'accroissament de D : pour h > 0 on peut réutiliser les égalités précédentes. q ( t , h ) h = D ( t ) D ( t + h ) D ( t ) h = 1 D ( t ) D ( t + h ) D ( t ) h h 0 D ( t ) D ( t ) = f ( t ) D ( t ) = π ( t )

    2. On suppose, dans cette question, que λ est un réel strictement positif et que T suit la loi exponentielle de paramètre λ .

      1. La loi de survie est donnée par D ( t ) = 1 F ( t ) avec F ( t ) = 0 si t 0 et pour t 0 F ( t ) = t f ( x ) x = 0 0 x + 0 t λ e λ x x = [ e λ x ] x = 0 t = 1 e λ t Donc si t 0 , on a D ( t ) = 1 et si t 0 , on a D ( t ) = e λ t .

        Pour la courbe représentative, D est strictement décroissante sur + , la dérivée à droite de 0 vaut λ , et D tend vers 0 en + .

      2. Et on retrouve pour t 0 : π ( t ) = f ( t ) D ( t ) = λ e λ t e λ t = λ = E ( T )

        car T suit une loi exponentielle.

    3. On suppose dans cette question que la densité f de la variable aléatoire T est définie par : f ( t ) = { t e t 2 2  si  t 0 0  si  t < 0

      1. f est une densité de probabilité car

        • f est positive ou nulle, continue sur { 0 } comme produit de fonctions continues (et même en 0 )

        • il reste à calculer son intégrale sur : + f ( t ) t = 0 0 t + 0 + t e t 2 2 t avec 0 M t e t 2 2 t = [ e t 2 2 ] 0 M = 1 e M 2 2 M + 1 = + f ( t ) t

        Donc f possède les propriétés d'une densité de probabilité.

      2. On sait que pour X suivant une loi normale centrée réduite : + 1 2 π e t 2 2 d t = 1 donc par symétrie : 0 + 1 2 π e t 2 2 d t = 1 2  d'où 0 + e t 2 2 d t = π 2 Et comme V ( X ) = 1 = E ( X 2 ) ( E ( X ) ) 2 = E ( X 2 ) donc + t 2 2 π e t 2 2 d t = 1  et par symétrie 0 + t 2 e t 2 2 d t = 1 2 2 π = π 2

      3. On étudie l'intégrale + t f ( t ) t = 0 0 + 0 + t f ( t ) t 0 M t f ( t ) t = 0 M t t e t 2 2 t M + 0 + t 2 e t 2 2 t = π 2 donc T a une espérance et E ( T ) = π / 2

      4. Soit S = T 2 et G sa fonction de répartiton

        On a pour tout t < 0 : ( S t ) = ( T 2 t ) = d'où p ( S t ) = 0 et G ( t ) = 0

        Et pour t 0 : ( S t ) = ( T 2 t ) = ( t T t ) = et G ( t ) = p ( S t ) = p ( T t ) p ( T t ) = p ( T t ) = F ( t )

        G est dérivable sur * , pour t < 0 , G ( t ) = 0 et pour t > 0 , G ( t ) = f ( t ) 1 2 t = t e t 2 2 1 2 t = 1 2 e t 2 2

        Donc T 2 = S suit une loi exponentielle de paramètre 1/2.

        Donc E ( T 2 ) = 2 et donc V ( T ) = E ( T 2 ) E ( T ) 2 = 2 π / 2 2 = 2 π / 2

      5. On a D ( t ) = 1 F ( t ) . Comme f est continue sur , F est dérivable sur et D également.

        • D ( t ) = 1 sur

        • Pour t 0 on a F ( t ) = 0 0 x + 0 t x e x 2 2 t = [ e x 2 2 ] 0 t = 1 e t 2 / 2 et donc D ( t ) = e t 2 / 2

        • Sur + : D ( t ) = t e t 2 / 2 Donc D est strictement décroissante sur +

        • D est dérivable sur + et D " ( t ) = ( t 2 1 ) e t 2 / 2 est du signe de ( t 2 1 ) polynôme du second degré qui a pour racines 1 ( et -1 qui est négatif). Donc la courbe repréesentative est concave sur [ 0 , 1 ] et convexe sur [ 1 , + [

        • La courbe représentative de D a donc un point d'inflexion en 1 avec une pente de D ( 1 ) = e 1 / 2 0,607 et D ( 1 ) = e 1 / 2 0,607

        • On a D ( 0 ) = f ( 0 ) = 0 donc on a une tangente horizontzale en 0.

        • D tend vers 0 en + et on a une asymptote horizontale d'équation y = 0 en +

      6. Le coefficient d'avarie pour t 0 est : π ( t ) = f ( t ) D ( t ) = t proportionnel à la durée de fonctionnement

    4. On suppose dans cette question qu'il existe une constante α strictement positive telle que l'on ait: t + , π ( t ) = α .

      1. Comme π ( t ) = α alors pour tout t 0 on a f ( t ) = α D ( t ) et on rappelle que D est dérivable sur + et D ( t ) = f ( t )

        g est donc dérivable sur + et g ( t ) = α e α t D ( t ) + e α t D ( t ) = e α t ( α D ( t ) + D ( t ) ) = e α t ( f ( t ) f ( t ) ) = 0. Donc g est constante sur +

      2. Comme g est constante elle vaut g ( 0 ) = D ( 0 ) = 1 et pour tout t 0 on a e α t D ( t ) = 1 et D ( t ) = e α t d'où la densité de T : f ( t ) = α D ( t ) = α e α t . Et comme sa densité est nulle sur , T suit bien une loi exponentielle de paramète α

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  2. Entretien préventif

    On désire, dans cette partie, comparer le coût de deux méthodes d'entretien.

    On suppose que la variable aléatoire T admet une espérance (nécessairement strictement positive) notée E ( T ) et représentant donc la durée moyenne de fonctionnement d'un composant.

    On considère que la panne d'un composant provoque un préjudice de coût C , et que son remplacement a un coût K , C et K étant deux constantes strictement positives.

    Une première méthode d'entretien consiste à attendre la panne pour procéder au remplacement. On estime alors que le coût de l'entretien du composant par unité de temps est donné par : c 1 = K + C E ( T ) .

    Une deuxième méthode d'entretien consiste à se fixer un réel θ strictement positif et à remplacer le composant dès sa panne si elle survient au bout d'une durée de fonctionnement inférieure à θ , sinon à le remplacer préventivement au bout d'une durée θ de fonctionnement.

    On estime alors que le coût de l'entretien du composant par unité de temps est donné en fonction de θ par : c 2 ( θ ) = K + ( 1 D ( θ ) ) C 0 θ D ( t ) d t

    1. Pour intégrer par parties, on rapelle que u = D est dérivable sur + et que u ( t ) = D ( t ) = f ( t ) ; D est continue. La fonction v : t 1 est continue sur + et une primitive est v : t t

      Donc en intégrant par parties : 0 θ D ( t ) 1 d t = [ D ( t ) t ] 0 θ 0 θ t D ( t ) t = θ D ( θ ) 0 0 θ t f ( t ) t Et enfin pour retrouver la formule, on réutilise que D ( t ) = p ( T > t ) et que p ( T θ ) = F ( θ ) constante par rapport à t par laquelle on multiplie et divise l'intégrale. D'où : 0 θ D ( t ) 1 d t = p ( T > θ ) θ + 0 θ p ( T θ ) . F ( θ ) t f ( t ) t = p ( T > θ ) θ + p ( T θ ) 0 θ t f ( t ) F ( θ ) t

    2. Si T suit une loi exponentielle de paramètre λ alors E ( T ) = 1 / λ donc c 1 = λ ( K + C )

      Et on avait vu que D ( t ) = e λ t sur + donc 0 θ D ( t ) t = [ e λ t λ ] t = 0 θ = 1 e λ θ λ d'où la valeur c 2 ( θ ) = K + ( 1 e λ t ) C 1 e λ θ λ = λ K + ( 1 e λ θ ) C 1 e λ θ = λ ( K 1 e λ θ + C ) Comme λ θ > 0 alors 0 < e λ θ < 1 donc 0 < 1 e λ t < 1 et K 1 e λ θ < K donc comme λ > 0 : c 2 ( θ ) < c 1 et la méthode 2 a un cout d'entretien plus élevé que la méthode 1. Elle ne présente pas d'avantage.

      Celà s'explique par le fait que dans le cas d'une loi de T exponentielle le coefficient de panne π ( t ) est constant. Donc le fait d'avoir fonctionné un certain temps n'augment pas la probabilité de panne pour la suite. Il n'est donc pas utile de changer un composant qui fonctionne encore.

    3. On suppose que T suit la loi décrite dans la question A.3 de la Partie 2.

      1. On avait E ( T ) = π / 2 donc c 1 = ( K + C ) / π / 2 = 2 π ( K + C )

        Pour calculer la lmite de c 2 ( θ ) quand θ + : 0 θ D ( t ) t = 0 θ e t 2 / 2 t θ + 0 + e t 2 / 2 = π / 2 et D ( θ ) θ + 0 donc c 2 ( θ ) = K + ( 1 D ( θ ) ) C 0 θ D ( t ) d t θ + K + C π / 2 = c 1

      2. ϕ ( θ ) = C 0 θ e t 2 2 d t 1 θ ( K + C ( 1 e θ 2 2 ) )

        Comme t e t 2 2 est continue sur alors θ 0 θ e t 2 2 d t est dérivable sur donc ϕ est dérivable sur + *

        et ϕ ( θ ) = C e θ 2 / 2 + 1 θ 2 ( K + C ( 1 e θ 2 / 2 ) ) 1 θ C θ e θ 2 / 2 = 1 θ 2 ( K + C ( 1 e θ 2 / 2 ) ) Comme θ 2 2 < 0 alors e θ 2 / 2 < 1 et 1 e θ 2 / 2 > 0 donc ϕ ( θ ) > 0 sur + *

        Quand θ 0 on a 0 θ e t 2 2 d t 0 et 1 e θ 2 / 2 0 et 1 / θ + donc ϕ ( θ )

        Quand θ + : 0 θ e t 2 2 π / 2 et e θ 2 / 2 0 donc ϕ ( θ ) C π / 2

        Et ϕ est strictement croissante sur + *

      3. c 2 est dérivable sur + * comme quotient de fonction dérivables et car 0 θ D ( t ) d t 0

        c 2 ( θ ) = D ( θ ) C 0 θ D ( t ) d t [ K + ( 1 D ( θ ) ) C ] D ( θ ) ( 0 θ D ( t ) d t ) 2 = f ( θ ) C 0 θ D ( t ) d t [ K + ( 1 D ( θ ) ) C ] D ( θ ) ( 0 θ D ( t ) d t ) 2 = θ e θ 2 / 2 C 0 θ D ( t ) d t [ K + ( 1 e θ 2 / 2 ) C ] e θ 2 / 2 ( 0 θ D ( t ) d t ) 2 = θ e θ 2 / 2 C 0 θ D ( t ) d t 1 θ [ K + ( 1 e θ 2 / 2 ) C ] ( 0 θ D ( t ) d t ) 2 = θ e θ 2 / 2 ϕ ( θ ) Comme ϕ est contiue et strictement croissante sur + * , elle est bijective de ] 0 , + [ dans ] lim 0 ϕ , lim + ϕ [ = ] , C π / 2 [ et comme 0 appartient à cet intervalle, il existe alors un unique θ 0 > 0 tel que ϕ ( θ 0 ) = 0. Elle est alors strictement négative avant et strictement positive après.

        Comme c 2 ( θ ) est du signe de ϕ ( θ ) la fonction c 2 a donc un un minimum en θ 0 .

        Enfin c 2 ( θ ) tend c 1 en + donc comme c 2 est strictement croissante son minimum vérifie : c 2 ( θ 0 ) < c 1 .

      4. On a ϕ ( θ 0 ) = 0 donc C 0 θ 0 e t 2 2 t 1 θ 0 ( K + C ( 1 e θ 0 2 / 2 ) ) = 0 donc 0 θ 0 D ( t ) t = 0 θ 0 e t 2 2 t = 1 C θ 0 ( K + C ( 1 e θ 0 2 / 2 ) ) et on en déduit c 2 ( θ 0 ) = K + ( 1 D ( θ 0 ) ) C 0 θ 0 D ( t ) d t = K + ( 1 e θ 0 2 / 2 ) ) C 1 C θ 0 ( K + C ( 1 e θ 0 2 / 2 ) ) = C θ 0 et finalement θ 0 = 1 C c 2 ( θ 0 ) < 1 C c 1 = 2 π ( 1 + K C )

      5. Quand C = K = 1 on a c 2 ( θ 0 ) = 1 θ 0 = θ 0 .

        On a vu que c 2 était minimum en θ 0 , on a donc c 2 ( θ 0 ) c 2 ( 1 , 5 ) = 1,5429.

        Et comme θ 0 = c 2 ( θ 0 ) on a finalement θ 0 1,5429

        D'autre part, c 2 est croissante sur [ θ 0 , + [ , et c 2 ( 1 , 45 ) > c 2 ( 1 , 5 ) alors que 1 , 45 < 1 , 5.

        On ne peut donc pas avoir 1 , 45 et 1 , 5 dans cet intervalle. Donc 1 , 45 θ 0 1,5429 1 , 55 C.Q.F.D