Corrigé HEC/CCIP maths II 2002 par Pierre Veuillez
On suppose dans cette partie que
Loi de survie et coefficient d'avarie
Pour tout réel
Soit
Pour tout réel strictement positif
Pour tout réel
On a
Et
On calcule ce rapport en faisant apparaitre le taux d'accroissament de
On suppose, dans cette question, que
La loi de survie est donnée par
Pour la courbe représentative,
Et on retrouve pour
car
On suppose dans cette question que la densité
il reste à calculer son intégrale sur
Donc
On sait que pour
On étudie l'intégrale
Soit
On a pour tout
Et pour
Donc
Donc
On a
Pour
Sur
La courbe représentative de
On a
Le coefficient d'avarie pour
On suppose dans cette question qu'il existe une constante
Comme
Comme
\break
Entretien préventif
On désire, dans cette partie, comparer le coût de deux méthodes d'entretien.
On suppose que la variable aléatoire
On considère que la panne d'un composant provoque un préjudice de
coût
Une première méthode d'entretien consiste à attendre la panne
pour procéder au remplacement. On estime alors que le coût de
l'entretien du composant par unité de temps est donné par :
Une deuxième méthode d'entretien consiste à se fixer un
réel
On estime alors que le coût de l'entretien du composant par unité de
temps est donné en fonction de
Pour intégrer par parties, on rapelle que
Donc en intégrant par parties :
Si
Et on avait vu que
Celà s'explique par le fait que dans le cas d'une loi de
On suppose que
On avait
Pour calculer la lmite de
Comme
et
Quand
Quand
Et
Comme
Enfin
On a
Quand
On a vu que
Et comme
D'autre part,
On ne peut donc pas avoir