HEC 2002 Mtahs II

On appelle durée de vie d'un composant électronique la durée de fonctionnement de ce composant jusqu'à sa première panne éventuelle. On considère un composant électronique dont la durée de vie est modélisée par une variable aléatoire T définie sur un espace probabilisé ( Ω , , P ) , à valeurs dans + .
Si F est la fonction de répartition de cette variable aléatoire, on appelle loi de survie du composant la fonction D définie sur + par: t + , D ( t ) = 1 F ( t ) Le problème se compose de deux parties pouvant être traitées indépendamment.

Cas continu

On suppose dans cette partie que T est une variable aléatoire de densité f nulle sur * , continue sur + et strictement positive sur + * .

  1. Loi de survie et coefficient d'avarie

    Pour tout réel t positif, on appelle coefficient d'avarie à l'instant t le nombre π ( t ) défini par: π ( t ) = f ( t ) D ( t )

    1. Soit t un réel positif.

      Pour tout réel strictement positif h , on note q ( t , h ) la probabilité que le composant tombe en panne entre les instants t et t + h sachant qu'il fonctionne encore à l'instant t , c'est-à-dire le nombre q ( t , h ) défini par: q ( t , h ) = P ( [ T ] t , t + h ] / [ T > t ] )

      1. Établir pour tout réel h strictement positif, l'égalité:

      2. Montrer que la fonction D est dérivable sur + et préciser sa fonction dérivée.

      3. Montrer que le rapport q ( t , h ) h a pour limite π ( t ) quand h tend vers 0 par valeurs supérieures.

    2. On suppose, dans cette question, que λ est un réel strictement positif et que T suit la loi exponentielle de paramètre λ .

      1. Déterminer alors la loi de survie du composant et donner l'allure de sa courbe représentative.

      2. Établir, pour tout réel t positif, l'égalité π ( t ) = 1 E ( T ) , où E ( T ) désigne l'espérance de la variable aléatoire T .

    3. On suppose dans cette question que la densité f de la variable aléatoire T est définie par : \vskip -3mm f ( t ) = { t e t 2 2 si t 0 0 si t < 0

      1. Vérifier que la fonction f ainsi définie possède les propriétés d'une densité de probabilité.

      2. Justifier les égalités:\vskip -3mm 0 + e t 2 2 d t = π 2 = 0 + t 2 e t 2 2 d t

      3. Calculer l'espérance de la variable aléatoire T .

      4. Montrer que la variable aléatoire T 2 suit une loi exponentielle et préciser son paramètre.
        En déduire la variance de la variable aléatoire T .

      5. Déterminer la loi de survie du composant et donner l'allure de sa courbe représentative en précisant la tangente au point d'abscisse 0 et le point d'inflexion. On donne : e 1 2 0,607 .

      6. Calculer, pour tout réel t positif, le coefficient d'avarie π ( t ) .

    4. On suppose dans cette question qu'il existe une constante α strictement positive telle que l'on ait: t + , π ( t ) = α .

      1. Pour tout réel t positif, on pose : g ( t ) = e α t D ( t ) . Montrer que la fonction g est constante sur + .

      2. En déduire que T suit une loi exponentielle et préciser son paramètre.

    \break

  2. Entretien préventif

    On désire, dans cette partie, comparer le coût de deux méthodes d'entretien.

    On suppose que la variable aléatoire T admet une espérance (nécessairement strictement positive) notée E ( T ) et représentant donc la durée moyenne de fonctionnement d'un composant.

    On considère que la panne d'un composant provoque un préjudice de coût C , et que son remplacement a un coût K , C et K étant deux constantes strictement positives.

    Une première méthode d'entretien consiste à attendre la panne pour procéder au remplacement. On estime alors que le coût de l'entretien du composant par unité de temps est donné par : c 1 = K + C E ( T ) .

    Une deuxième méthode d'entretien consiste à se fixer un réel θ strictement positif et à remplacer le composant dès sa panne si elle survient au bout d'une durée de fonctionnement inférieure à θ , sinon à le remplacer préventivement au bout d'une durée θ de fonctionnement.

    On estime alors que le coût de l'entretien du composant par unité de temps est donné en fonction de θ par : \vskip -8mm c 2 ( θ ) = K + ( 1 D ( θ ) ) C 0 θ D ( t ) d t

    1. À l'aide d'une intégration par parties, établir la formule:\vskip -4mm 0 θ D ( t ) d t = P ( [ T > θ ] ) . θ + P ( [ T θ ] ) . 0 θ t f ( t ) F ( θ ) d t L'intégrale 0 θ D ( t ) d t peut donc s'interpréter comme la durée moyenne de fonctionnement du composant dans la deuxième méthode.

    2. Calculer c 1 et, pour tout réel θ strictement positif, c 2 ( θ ) dans le cas où T suit la loi exponentielle de paramètre λ .
      Montrer qu'alors la deuxième méthode ne présente pas d'avantage. Comment peut-on expliquer ce résultat ?

    3. On suppose que T suit la loi décrite dans la question A.3 de la Partie 2.

      1. Préciser la valeur de c 1 et montrer que l'on a :

      2. Pour tout réel strictement positif θ , on pose:
        Montrer que la fonction ϕ est dérivable sur + * et que sa dérivée est strictement positive.
        En déduire le tableau de variations de ϕ .

      3. Étudier les variations de la fonction c 2 et montrer qu'elle admet un minimum en θ 0 qui vérifie : c 2 ( θ 0 ) < c 1 .

      4. Établir l'égalité c 2 ( θ 0 ) = C θ 0 puis l'inégalité

      5. On suppose, dans cette question, que K et C sont tous deux égaux à 1 , et on donne : c 2 ( 1 , 5 ) = 1,5429 et c 2 ( 1 , 45 ) = 1,5439 .

        En déduire un encadrement de θ 0 d'amplitude 0 , 1 .