Corrigé EML 1996 par Pierre Veuillez

Soit f la fonction définie sur par : { f ( x ) = e | x | si  ln 2 x ln 2 f ( x ) = 0 sinon

  1. On étudie sur cahque intervalle :

    Comme f est paire, il suffit de l'étudier sur :

    D'où le reste de l'étude par symétrie :

    Il faut tracer :

  2. On vérifie les propriétés caractéristiques d'une densité :

    + f est impropre en ± et

    Donc + f converge et vaut 1

    Et f est bien une densité de probabilité.

    remarque : la partié de f pouvait aussi nous donner que 0 f = 0 + f

  3. Soit X une variable aléatoire réelle admettant f comme densité.

    1. La densité de probabilité de X sera donnée par des formules distinctes suivant l'intervalle :

      • si x < ln ( 2 ) alors F ( x ) = x f = x 0 = 0

      • si x [ ln ( 2 ) , 0 ] alors F ( x ) = x f = ln ( 2 ) 0 + ln ( 2 ) x e t t = [ e t ] ln ( 2 ) x = e x 1 / 2

      • si x [ 0 , ln ( 2 ) ] alors F ( x ) = x f = ln ( 2 ) 0 + ln ( 2 ) 0 e t t + 0 x e t t = 1 / 2 + [ e t ] 0 x = 3 / 2 e x

      • si x > ln ( 2 ) alors F ( x ) = x f = ln ( 2 ) 0 + ln ( 2 ) 0 e t t + 0 ln ( 2 ) e t t + 0 x 0 = 1

    2. X a une espérance si + t f ( t ) t converge : elle est impropre en ± mais convergente car nulle en dehors de [ ln ( 2 ) , ln ( 2 ) ]

      et comme t t f ( t ) est impaire alors ln ( 2 ) ln ( 2 ) t f ( t ) t = 0 et E ( X ) = 0

    3. On pose Y = | X | .
      On a G ( x ) = p ( Y x ) = p ( | X | x ) = p ( x X x )

      Donc

      • si x < 0 alors G ( x ) = 0 (car x > x )

      • si x 0 alors G ( x ) = F ( x ) F ( x )

      On vérifie alors la continuité de G :

      • Comme F est continue sur (car mX est à densité) alors G est continue sur [ 0 , + [

      • Comme G = 0 elle est continue sur ] , 0 [

      • En 0 : si x < 0 on a G ( x ) = 0 0 et comme G ( 0 ) = F ( 0 ) F ( 0 ) = 0 alors G est continue en 0

      G est donc continue sur

      de plus G est de classe C 1 sur { 0 , ln ( 2 ) }

      Donc G qui est une fonction de répartition, est celle d' une variable à densité.

      Donc Y est à densité.

      • Pour x < 0 on a g ( x ) = G ( x ) = 0

      • pour x ] 0 , ln ( 2 ) [ on a g ( x ) = G ( x ) = F ( x ) + F ( x ) = e x + e x (car x 0 et x 0 )

      • pour x > ln ( 2 ) on a g ( x ) = G ( x ) = F ( x ) + F ( x ) = 0 (car x > ln ( 2 ) et x < ln ( 2 )

      On peut fixer arbitrairement les valeurs en 0 et ln ( 2 ) en incluant par exemple les bornes.