Corrigé ECRICOME 2003 par Pierre Veuillez

Partie 1.

  1. Pour un objet pris à la sortie, P ( A ) = 0.6 et P ( B ) = 0.4

    Soit D = ''l'objet est deffectueux''.

    On a P ( D / A ) = 0.1 et P ( D / B ) = 0.2 et comme ( A , B ) est un ssystème complet d'événements, P ( D ) = P ( D / A ) P ( A ) + P ( D / B ) P ( B ) = 0.1 0.6 + 0.2 0.4 = 0.14

    Si l'objet est défectueux, la probababilité de l'événement ``l'objet provient de la chaîne A`` est P ( A / D ) que l'on calcule par la formule de Bayes : P ( A / D ) = P ( A D ) P ( D ) = P ( D / A ) P ( A ) P ( D ) = 0.1 0.6 0.14 = 0.06 0.14 = 6 14 = 3 7

  2. On suppose de plus que le nombre d'objets produits en une heure par A est une variable aléatoire Y qui suit une loi de Poisson de paramètre λ = 20.

    On considère la variable aléatoire X représentant le nombre d'objets défectueux produits par la chaîne A en une heure.

    1. On a Y ( Ω ) = et pour tout entier n : P ( Y = n ) = λ n e λ n ! . E ( Y ) = λ = 20 et V ( Y ) = λ = 20

    2. Quand Y = n , X est le nombre d'objet défectueux parmi n , qui sont défectueux indépendemment les un des autres avec une même probabilité 0.1 . Donc X / Y = n ( n , 0.1 ) et

      P [ X = k / Y = n ] = 0 si k > n et P [ X = k / Y = n ] = C n k 0.1 k 0.9 n k si k n

    3. Comme ( Y = n ) n , est un systèeme complet d'événements on a pour tout entier k : P ( X = k ) = n = 0 + P [ X = k / Y = n ] P ( Y = n ) série copnvergente dont on calcule la somme partielle en distinguant suivant que n k ou n < k : k = 0 M P [ X = k / Y = n ] P ( Y = n ) = n = 0 k 1 P [ X = k / Y = n ] P ( Y = n ) + n = k M P [ X = k / Y = n ] P ( Y = n ) = 0 + n = k M C n k 0.1 k 0.9 n k 20 n e 20 n ! = ( 0.1 0.9 ) k e 20 n = k M n ! k ! ( n k ) ! n ! ( 0.9 20 ) n = ( 1 9 ) k e 20 1 k ! n = k M 1 ( n k ) ! 18 n = ( 1 9 ) k e 20 1 k ! m = 0 M k 1 m ! 18 m + k ( 1 9 ) k e 20 1 k ! 18 k e 18 = 2 k e 2 k ! donc X 𝒫 ( 2 )

Partie 2.

  1. On vérifie les caractéristiques d'une densité :

    Donc f es tbien une densité de variable aléatoire.

  2. On a F Z ( x ) = x f ( t ) t donc

  3. l'intégrale 0 + 2 t ( 1 + t ) 3 t n'est impropre qu'en +

    En + on a un équivalent simple : 2 t ( 1 + t ) 3 = 2 t t 3 ( 1 + 1 / t ) 3 2 t 2 > 0

    Or l'intégrale de Rieman 1 + 1 t 2 t est convergente car 2 > 1

    Donc par comparaison d'intégrale à termes positifs, 0 + 2 t ( 1 + t ) 3 t converge.

    On affectue le changement de variable ( u est de classe C 1 sur [ 1 , X + 1 ] ) u = t + 1 : u t : t = 0 r = 1 0 X 2 t ( 1 + t ) 3 t = 1 X + 1 2 ( u 1 ) u 3 u = 1 X + 1 2 u 2 2 u 3 u = [ 2 u + 1 u 2 ] 1 X + 1 = 2 X + 1 + 1 ( X + 1 ) 2 + 1 1 donc 0 + 2 t ( 1 + t ) 3 t = 1

  4. Espérance ?

    On étudie la convergence + t f ( t ) t impropre en ± .

  5. Comme 2 t 2 ( 1 + t ) 3 2 t dont l'intégrale diverge en + , alors Z 2 n'a pas d'espérance et Z n'a pas de variance.

  6. Dans cette partie, on suppose que le temps de fabrication, exprimé en minutes d'un pièce par la chaîne A (respectivement B ) est une variable aléatoire Z 1 ( respectivement Z 2 ) où Z 1 et Z 2 sont deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi que que Z .

    1. On considère les événements :

      C = ``le temps de fabrication d'une pièce sur la chaine B est supérieur à 2 minutes`` = ( Z 2 > 2 ) .

      D = ``le temps de fabrication d'une pièce sur la chaîne B est inférieur à 3 minutes`` = ( Z 2 < 3 )

      P ( C ) = P ( Z 2 > 2 ) = 1 F Z ( 2 ) = 1 ( 1 + 2 ) 2 = 1 9

      P ( D ) = P ( Z 2 < 3 ) = F Z ( 3 ) = 1 1 ( 1 + 3 ) 2 = 15 16

      P ( D / C ) est moins immédiat : P ( D / C ) = p ( D C ) p ( C ) = P ( 2 < Z 2 < 3 ) p ( C ) = F ( 3 ) F ( 2 ) p ( C ) = 9 ( 1 9 1 16 ) = 1 9 16 = 7 16

    2. On note T = max ( Z 1 , Z 2 ) et G T la fonction de répartition de T .

      1. Le plus grand est inférieur à x signifie qu'ils sont chacun inférieur à x .

        Donc ( T x ) = ( Z 1 x ) ( Z 2 x )

      2. Donc comme les deux sont indépendantes, G T ( x ) = P ( Z 1 x ) P ( Z 2 x ) = [ F Z ( x ) ] 2

    3. IL suffit de montrer que la fonction de répartition de T est continue sur et de classe C 1 sauf en un nombre fini de points.

      Or F Z est continue sur et de classe C 1 sur * (fonction de répartition d'une densité)

      Donc comme cmposée, G T l'est aussi et T est une variable aléatoire à densité de densité g ( t ) = G ( t ) = 2 F Z ( t ) f ( t ) (on donne arbitrairement cette valeur en 0 également)

Partie 3.

On suppose maintenant que pour qu'une pièce soit terminée, il faut qu'elle passe par la chaîne A puis par la chaîne B .

Le temps de passage exprimé en minutes pour un objet sur la chaîne A est une variable aléatoire M suivant une loi exponentielle de paramètre 2.

Le temps de passage exprimé en minutes pour un objet sur la chaîne B est une variable aléatoire N suivant une loi uniforme sur [ 0 , 1 ]

Les variables M et N sont indépendantes.

  1. Une densité de M est : v ( t ) = 0 sur et v ( t ) = 2 e 2 t sur +

    une densité de N est : w ( t ) = 1 sur [ 0 , 1 ] et 0 ailleurs

  2. Le temps total de fabrication est la somme des temps de passage sur A et B .

    Donc S = N + M

    Donc le le temps moyen de fabrication d'une pièce est : E ( S ) = E ( M ) + E ( N ) = 1 2 + 1 0 2 = 1