ECRICOME 2003
Sous diverses hypothèses, l'exercice étudie différentes situations probabilistes concernant une entreprise de construction produisant des objets sur deux chaînes de montage A et B qui fonctionnent indépendemment l'une de l'autre.
Pour une chaîne donnée, les fabrications des pièces sont indépendantes.
Partie 1.
On suppose que A produit 60% des objets et B produit 40% des objets. La probabilité qu'un objet construit par la chaine A soit défectueux est 0.1 alors que la probabilité pour qu'un objet construit par la chaine B soit défectueux est 0.2.
  1. On choisit au hasard un objet à la sortie de l'entreprise. On constate que cet objet est défectueux. Calculer la probabilité de l'événement "l'objet provient de la chaîne A" .
  2. On suppose de plus que le nombre d'objets produits en une heure par A est une variable aléatoire Y qui suit une loi de Poisson de paramètre λ=20.
    On considère la variable aléatoire X représentant le nombre d'objets défectueux produits par la chaîne A en une heure.
    1. Rappeler la loi de Y ainsi que la valeur de l'espérance et de la variance de Y.
    2. Soient k et n deux entiers naturels, déterminer la probabilité conditionnelle P[X=k/Y=n]. (On distinguera les cas kn et k>n ).
    3. En déduire, en utilisant le système complet d'événements (Y=i)i , que X suit une loi de Poisson de paramètre 2 .
Partie 2.
Soit f la fonction définie sur par :
{ f(t)= 2 (1+t)3 si t0 f(t)=0 si t<0

  1. Montrer que f est une densité d'une variable aléatoire Z
  2. Déterminer la fonction de répartition FZ de Z.
  3. Justifier la convergence de l'intégrale :
    0 + 2t (1+t)3 dt

    La calculer en effectuant le changement de variable u=t+1.
  4. Prouver que Z admet une espérance et la déterminer.
  5. Z admet-elle une variance ?
  6. Dans cette partie, on suppose que le temps de fabrication, exprimé en minutes d'un pièce par la chaîne A (respectivement B) est une variable aléatoire Z1 ( respectivement Z2 ) où Z1 et Z2 sont deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi que que Z.
    1. On considère les événements :
      C= "le temps de fabrication d'une pièce sur la chaine B est supérieur à 2 minutes".
      D= "le temps de fabrication d'une pièce sur la chaîne B est inférieur à 3 minutes".
      Calculer les probabilités suivante : P(C),P(D),P(D/C).
    2. On note T=max( Z1 , Z2 ) et GT la fonction de répartition de T.
      1. Exprimer l'événement (Tx) en fonction des événements ( Z1 x) et ( Z2 x)
      2. Montrer que :
        x,     GT (x)= [ FZ (x)]2

    3. En déduire que T est une variable aléatoire à densité dont on donnera une densité.
Partie 3.
On suppose maintenant que pour qu'une pièce soit terminée, il faut qu'elle passe par la chaîne A puis par la chaîne B.
Le temps de passage exprimé en minutes pour un objet sur la chaîne A est une variable aléatoire M suivant une loi exponentielle de paramètre 2.
Le temps de passage exprimé en minutes pour un objet sur la chaîne B est une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [0,1]
Les variables M et sont indépendantes.
  1. Rappeler l'expression d'une densité de probabilité v de M et d'une densité w de .
  2. On note S la variable aléatoire représentant le temps total de fabrication d'une pièce.
    Exprimer S en fonction de M et de et déterminer le temps moyen de fabrication d'une pièce.



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On 18 May 2004, 00:02.