Corrigé ESC 2003 par Pierre Veuillez
On pose pour a réel strictement positif la fonction fa définie sur [ 0 ; a ] par :
Pourtoutx\lbrack0;a],    fa (x)=\dfraca-xa(a+x)

    1. Pour tout x[0,a] on a a+x0 donc fa est dérivable sur [0;a] comme quotient de fonction dérivables et
      fa ' (x)= -(a+x)-(a-x) a (a+x)2 = -2 (a+x)2

      Donc
      x 0 a
      fa ' (x) -
      fa (x) 1 a 0
    2. Comme fa est continue et strictement décroissante sur [0,a] elle est bijective de [0,a] dans [ fa (a); fa (0)]=[0;\dfrac1a].
      On a alors par symétrie le tableau des variations de fa -1 :
      x 0 1 a
      fa (x) a 0
    3. On a, pour tout x[0,a] et tout y[0, 1 a ]:

      fa (x)=y \dfraca-xa(a+x)=y a-x=ya(a+x) x(-1-ay)= a2 y-a x= a(1-ay) 1+ay car 1+ay0

      Donc la réciroqie de fa est définie par : fq -1 (y)= a(1-ay) 1+ay pour tout y[0, 1 a ]
      Or pour tout x[0, 1 a ]
      f 1 a (x)=\dfrac 1 a -x 1 a ( 1 a +x)= a(1-ax) 1+ax

      On a donc bien fa -1 = f1/a
      N.B. on aurait aussi pu montrer que pour tout x[0,a]: f1/a ( fa (x))=x et pour tout y[0, 1 a ]: fa ( f1/a (y))=y pour pouvoir conclure égalment.
    1. Comme fa est continue sur [0,a] alors 0 a fa (x)dx est bine définie.
    2. Pour tout x-1 on a : -1+\dfrac21+x=\dfrac1-x1+x donc α=-1 et β=2 conviennent.
      Donc
      I1 = 0 1 f1 (x)dx= 0 1\dfrac1-x1+xdx = 0 1-1+\dfrac21+xdx = [-x+2ln(1+x)]x=0 1     car 1+x>0 = -1+2ln(2)

    3. On effectue dans Ia = 0 a fa (x)dx le changement de variable x=au:dx=adu:x=0u=0:x=au=1
      avec ϕ:uau de classe C1 sur [0,1] et fa continue sur ϕ([0,1])
      0 a fa (x)dx = 0 a\dfraca-xa(a+x)dx = 0 1\dfraca-aua(a+au)adu = 0 1\dfrac1-x1+xdx= I1

  1. On considère dans ce paragraphe la fonction ha définie sur \mathbb de la manière suivante :
    { si x[0;a], ha (x)=\dfrac12ln2-1 fa (x) si x[0;a], ha (x)=0

    1. ha est continue sur -{0,a}, positive sur et - + ha est impropre en + et -
      - 0 ha = - 0 0=0: a + ha = a + 0=0 et enfin 0 a ha =\dfrac12ln2-1 0 a fa =1
      Donc - + ha converge et vaut 1.
      Donc ha est bien une densité de probabilité.
      On note Xa une variable aléatoire réelle admettant une densité égale ý ha .
      On note Ha la fonction de répartition de la variable Xa .
    2. a+ Xa a une espérance si - + (a+x) ha (x)dx converge.
      Or en dehors de [0,a] la fonction ha est nulle donc l'intégralle converge et
      - + (a+x) ha (x)dx = 0 a \dfrac12ln2-1(a+x)\dfraca-xa(a+x)dx = \dfrac1a(2ln2-1) 0 a (a-x)dx = \dfrac1a(2ln2-1) [- 1 2 (a-x)2 ]0 a = \dfraca2(2ln2-1)=E(a+ Xa )

      N.B la primitive en (a-x)2 au lieu de x2 permet d'obtenir directement l'expression factorisée.
      On a alors E( Xa )=E(a+ Xa -a)=E(a+ Xa )-a=\dfraca2(2ln2-1)-a
    3. De même
      - + (a+x)2 ha (x)dx=\dfrac1a(2ln2-1) 0 a (a-x)(a+x)dx =\dfrac1a(2ln2-1) 0 a ( a2 - x2 )dx =\dfrac1a(2ln2-1) [ a2 x- x3 3 ]0 a =\dfrac2 a2 3(2ln2-1)=E( (a+ Xa )2 )

      Comme (a+ Xa )2 = a2 +2 aXa + Xa 2
      on a alors
      E( Xa 2 )=E( (a+ Xa )2 - a2 +2 aXa )=E( (a+ Xa )2 )- a2 -2aE( Xa ) =\dfrac2 a2 3(2ln2-1)- a2 -2a(\dfraca2(2ln2-1)-a) = a2 -\dfrac a2 3(2ln2-1)

      et
      V( Xa )=E( Xa 2 )-E ( Xa )2 = a2 -\dfrac a2 3(2ln2-1)- (\dfraca2(2ln2-1)-a)2 = a2 [1-\dfrac13(2ln2-1)-\dfrac14 (2ln2-1)2 +\dfrac1(2ln2-1)-1] = 1 12 a2 16ln2-11 (2ln2-1)2

    4. Soit la variable aléatoire à densité T définie par T=\dfrac1a Xa .
      On a pour tout réel t de [ 0 ; 1 ] : P(T\leqslantt)=P(\dfrac1a Xa t)=P( Xa at)= Ha (at).
      Donc la densité de T est h(t)=0 si t[0,1] et
      h(t)= Ha ' (at)a= ha (at)a=\dfrac12ln2-1\dfraca-ata(a+at)a=\dfrac12ln2-1\dfrac1-t1+t= h1 (t)

      Donc T suit bien la même loi que X1 .





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On 18 May 2004, 00:02.