ESC 2003
On pose pour a réel strictement positif la fonction fa définie sur [ 0 ; a ] par :
Pourtoutx\lbrack0;a],    fa (x)=\dfraca-xa(a+x)

  1.    
    1. Justifier la dérivabilité de fa sur [0;a] et calculer sa dérivée.
      En déduire le tableau des variations de fa en précisant les valeurs aux bornes.
    2. Montrer que fa réalise une bijection de [0;a] sur [0;\dfrac1a].
      On note fa -1 sa bijection réciproque.
      Donner le tableau des variations de fa -1 en précisant les valeurs aux bornes.
    3. Montrer que fa -1 = f\dfrac1a .
  2.    
    1. Justifier l'existence de l'intégrale \limits 0 a fa (x)dx , notée Ia .
    2. Déterminer deux constantes α et β telles que : x[0;a],   \dfrac1-x1+x=α+\dfracβ1+x.
      En déduire que I1 =2ln2-1.
    3. Montrer gràce au changement de variable x=au que Ia = I1 .
  3. On considère dans ce paragraphe la fonction ha définie sur \mathbb de la manière suivante :
    { si x[0;a], ha (x)=\dfrac12ln2-1 fa (x) si x[0;a], ha (x)=0

    1. Montrer que ha est une densité de probabilité.
      On note Xa une variable aléatoire réelle admettant une densité égale ý ha .
      On note Ha la fonction de répartition de la variable Xa .
    2. Calculer l'espérance E(a+ Xa ). En déduire l'espérance E( Xa ).
    3. Calculer l'espérance E((a+ Xa )2 ). En déduire E( Xa 2 ) puis la variance V( Xa ).
    4. Soit la variable aléatoire ý densité T définie par T=\dfrac1a Xa .
      Montrer que pour tout réel t de [ 0 ; 1 ] : P(T\leqslantt)= Ha (at).
      En déduire que T suit la mÍme loi que X1 .





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On 18 May 2004, 00:02.