Corrigé EML 2003 par Pierre Veuillez
  1. La fonction x\dfrac1xx est continue sur + * donc l'intégrale 2 + \dfrac1xxdx n'est impropre qu'en +

    2 M \dfrac1xxdx = 2 M x-3/2 dx= [-2 x-1/2 ]2 M = -2 M-1/2 + 21/2 2

    quand M tend vers +. Donc l'intégrale es tconvergente et vaut 2
Soit f:\mathbb\mathbbR la fonction définie par : { f(x)=0 si x<2 f(x)=\dfrac1x2x si x\geqslant2
  1. f est positive ou nulle.
    Elle est continue (par morceaux) sauf en 0 et on étudie la convergence de son intégrale :
    - 2 f= - 2 0=0
    2 M f= 2 M \dfrac1x2xdx= 1 2 2 M \dfrac1xxdx 2 2 =1
    Donc - + f convzerge et vaut 1.
    Finalement, f est bien une densité de porbabilité.
  2. Soit X une variable aléatoire réelle admettant f pour densité.
    1. La fonction de répartition de X est donnée par : F(x)= - x f(t)dt
      Elle vaut donc :
      • si x2:F(x)= - x 0dt=0
      • si x2:F(x)= - 2 0dt+ 2 x \dfrac1x2xdx= [ 2 2 x-1/2 ]2 M =1- 2 x
    2. X admet une espérance si - + xf(x)dx converge.
      Or pour x2:xf(x)=\dfracxx2x= 1 2 1 x dont l'intégrale (de Rieman) diverge.
      Donc X n'a pas d'espérance.
     
    On considère trois variables aléatoires indépendantes T1 , T2 et T3 , chacune de même loi que X.
     
  3. On condidère la variable aléatoire U=inf( T1 , T2 , T3 ) définie par :
    t\mathbb,   (U>t)=( T1 >t)( T2 >t)( T3 >t)

    1. G est définie par G(x)=p(Ux)=1-p(U>x)
      Et comme T1 , T2 , et T3 sont indépendantes,
      p(U>t)=p( T1 >t)·p( T2 >t)·p( T3 >t) = (1-F(t))3

      et finalement :    G(t)=1- (1-F(t))3
    2. U admet une densité si sa fonction de répatition est
      • continue
        Comme F est continue sur , G l'est aussi comme composée de fonctions continues.
      • de classe C1 sauf en un nombre fini point
        ici, G est de classe C1 là où F l'est, c'est à dire sur \{2} (là où f est continue)
      De plus Sur {2} on a G' (x)=- (1-F(t))2 (- F' (t))=3 (1-F(t))2 f(t)
      Finalement U a pour densité g défini par g(x)= G' (x)
      Donc { g(x)=0 si x<2 g(x)=3 ( 2 x )2 \dfrac1x2x=\dfrac32 x2 x si x\geqslant2
    3. On étudie la convergence de - + xg(x)dx impropre en ±
      • En - elle converge.
      • En +:
        2 M xg(x)dx= 2 M x\dfrac32 x2 xdx=32 2 M \dfrac1 x3/2 dx =32 [-2\dfrac1 x1/2 ]2 M =-62 1 M1/2 +62 1 21/2 \undersetM+6

      Donc - + xg(x)dx converge et U admet une espérance E(U)=6
  4. On condidère la variable aléatoire V=sup( T1 , T2 , T3 ) définie par :
    t\mathbb,   (V\leqslantt)=( T1 \leqslantt)( T2 \leqslantt)( T3 \leqslantt)

    1. La fonction de répartition H de V est définie par H(x)=p. (Vx)
      Et comme T1 , T2 , et T3 sont indépendantes,
      H(x)=p( T1 \leqslantx)·p( T2 \leqslantx)·p( T3 \leqslantx) =F (x)3

    2. On vérifie les critères :
      • H est continue sur
      • est de classe C1 sauf en 2
      une densité h de V est donnée par h(x)= H' (x)=3 F2 (x)f(x) (valeur que l'on étend pour x=2)
    3. On étudie la convergence de - + xh(x)dx impropre en ±
      • En - elle converge (fonction nulle)
      • en +:
        2 M xh(x)dx= 2 M 3x (1- 2 x )2 \dfrac1 x2 2xdx= 3 2 2 M (1- 2 x )2 \dfrac1 x3/2 dx

        Et comme (1- 2 x 2 )\dfrac1 x3/2 \undersetx+\thicksim\dfrac1 x3/2 dont l'intégrale converge en +, par comparaison d'intégrales à termes positifs, l'intégrale de xh(x) converge également et U a une espérance.



File translated from TEX by TTM, version 3.59.
On 18 May 2004, 00:02.