Corrigé EDHEC 2003 par Pierre Veuillez

Dans cet exercice, n désigne un entier naturel non nul.

  1. Soit f n la fonction définie par : f n ( x ) = { n x n 1 si  x [ 0 ; 1 ] 0 sinon

    f n est positive sur et continue sur { 0 , 1 } (en fait, en 0 elle est continue)

    + f n est impropre en ± car f n est continue par morceaux sur

    0 f n = 0 0 converge et est nulle.

    1 + f n = 1 + 0 = 0

    0 1 f n = 0 1 n x n 1 x = [ x n ] x = 0 1 = 1 car 0 n = 0 pour n *

    Donc + f n converge et vaut 1.

    Donc f n est bien une densité de probabilité.

  2. On considère une variable aléatoire X n réelle dont une densité de probabilité est f n . On dit alors que X n suit une loi monôme d'ordre n .

    1. Pour n = 1 la densité est : f 1 ( x ) = { 1 si  x [ 0 ; 1 ] 0 sinon donc X 1 suit une loi uniforme sur [ 0 , 1 ]

    2. La fonction de réparition de X n est donnée par :

      F n ( x ) = x f où il faut distinguer suivant que x < 0 : 0 x 1 et x > 1 :

      • si x < 1 alors F n ( x ) = x 0 = 0

      • si 0 x 1 alors F n ( x ) = 0 0 + 0 x n t n 1 t = 0 + [ t n ] 0 x = x n

      • si 1 < x alors F n ( x ) = 0 0 + 0 1 n t n 1 t + 1 x 0 = 0 + [ t n ] 0 1 + 0 = 1

      Pour calculer E ( X n ) on étudie la convergence et on calcule + t f n ( t ) t qui est impropre en ±

      0 t f n ( t ) t = 0 0 = .0

      1 + t f n ( t ) t = 1 + 0 = 0

      0 1 t f n ( t ) t = 0 1 t n t n 1 t = 0 1 n t n t = [ n n + 1 t n + 1 ] t = 0 1 = n n + 1

      Donc X n a une espérance et

      E ( X n ) = n n + 1

      De même pour E ( X n 2 ) = 0 1 t 2 f n ( t ) t = 0 1 n t n + 1 t = [ n n + 2 t n + 2 ] 0 1 = n n + 2

      Donc X a une variance et V ( X n ) = E ( X n 2 ) E ( X n 2 ) = n n + 2 ( n n + 1 ) 2 = n n 2 + 2 n + 1 n ( n + 2 ) ( n + 2 ) ( n + 1 ) 2 = n ( n + 2 ) ( n + 1 ) 2

  3. On considère deux variables aléatoires U n et V n définies sur le même espace probabilisé ( Ω , 𝒜 , P ) , suivant la loi monôme d'ordre n ( n 2 ) et indépendantes, c'est-à-dire qu'elles vérifient en particulier l'égalité suivante : x , P ( U n x V n x ) = P ( U n x ) P ( V n x )

    On pose M n = sup ( U n , V n ) et on admet que M n est une variable aléatoire définie, elle aussi, sur ( Ω , 𝒜 , P ) .

    1. ( M n x ) est l'événement ''le plus grand es tplus petit que x '' c'est à dire ''tous sont plus petit que x ''

      et ( M n x ) = ( U n x ) ( V n x )

    2. Comme U n et V n sont indépendantes, on a alors : p ( M n x ) = p ( U n x ) p ( V n x )

      En notant F la fonction de répartition d'une loi monôme et G celle de M n on a alors :

      G ( x ) = F ( x ) F ( x ) = F ( x ) 2 pour tout x réel.

      Comme F est la fonctio de répartition d'une variable à densité, on sait

      • que F est continue sur

      • de classe C 1 sur { 0 , 1 } (là où f n est continue)

      • et que F = f n

      Donc

      • que G est continue sur comme composée de fonctions continues.

      • G de classe C 1 sur { 0 , 1 }

      • et que G = 2 F ( x ) F ( x ) = 2 F ( x ) f n ( x ) = { 2 x n n x n 1 = 2 n x 2 n 1 si  x [ 0 ; 1 ] 0 sinon

      Donc M n est une variable à densité et suit une loi monôme d'ordre 2 n

      et donc

      E ( M n ) = 2 n 2 n + 1

    3. On pose T n = inf ( U n , V n ) .

      On a M n + T n = U n + V n (car l'un est le plus petit et l'auter le plus grand)

      De plus E ( U n ) = E ( V n ) = n n + 1 alors E ( U n + V n ) = E ( U n ) + E ( V n ) = 2 n n + 1

      Et comme T n = M n + T n M n = U n + V n M n on a finalement E ( T n ) = E ( U n + V n ) E ( M n ) = 2 n n + 1 2 n 2 n + 1 = 2 n 2 ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )

(EDHEC 2003)