EDHEC 2003

Dans cet exercice, n désigne un entier naturel non nul.

  1. Soit f n la fonction définie par : f n ( x ) = { n x n 1 si  x [ 0 ; 1 ] 0 sinon

    Montrer que f n est une densité de probabilité.

  2. On considère une variable aléatoire X n réelle dont une densité de probabilité est f n . On dit alors que X n suit une loi monôme d'ordre n .

    1. Reconnaître la loi de X 1 .

    2. Dans le cas où n est supérieur ou égal à 2 , déterminer la fonction de répartition F n de X n , ainsi que son espérance E ( X n ) et sa variance V ( X n ) .

  3. On considère deux variables aléatoires U n et V n définies sur le même espace probabilisé ( Ω , 𝒜 , P ) , suivant la loi monôme d'ordre n ( n 2 ) et indépendantes, c'est-à-dire qu'elles vérifient en particulier l'égalité suivante : x , P ( U n x V n x ) = P ( U n x ) P ( V n x )

    On pose M n = sup ( U n , V n ) et on admet que M n est une variable aléatoire définie, elle aussi, sur ( Ω , 𝒜 , P ) .

    1. Pour tout réel x , écrire, en justifiant la réponse, l'événement ( M n x ) à l'aide des événements ( U n x ) et ( V n x ) .

    2. En déduire une densité de M n . Vérifier que M n suit une loi monôme dont on donnera l'ordre, puis déterminer sans calcul E ( M n ) .

    3. On pose T n = inf ( U n , V n ) . Exprimer M n + T n en fonction de U n et V n , puis en déduire, sans calcul d'intégrale, la valeur de E ( T n ) .

(EDHEC 2003)