EDHEC 2002



Pour tout nombre réel x , on note [ x ] la partie entière de x , c'est-à-dire l'unique nombre entier vérifiant : [ x ] x < [ x ] + 1 .
Soit X la variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ ( λ > 0 ).
On pose Y = [ X ] , Y est donc la partie entière de X et on a : k ( Y = k ) = ( k X < k + 1 )

    1. Montrer que Y prend ses valeurs dans .

    2. Pour tout k de * , calculer P ( Y = k 1 ) .

    3. En déduire que la variable aléatoire Y + 1 suit une loi géométrique dont on donnera le paramètre.

    4. Donner l'espérance et la variance de Y + 1 . En déduire l'espérance et la variance de Y .

  1. On pose Z = X Y .

    1. Déterminer Z ( Ω ) .

    2. En utilisant le système complet d'événements ( Y = k ) k , montrer que : x [ 0 , 1 [ , P ( Z x ) = 1 e λ x 1 e λ

    3. En déduire une densité f de Z .

    4. Déterminer l'espérance E ( Z ) de Z . Ce résultat était-il prévisible ?