Corrigé EML 2001 par Pierre Veuillez

  1. Pour tout entier naturel n , on considère la fonction f n : définie par : t , f n ( t ) = { e t t n n ! si  t > 0 0 si  t 0

    1. On a t 2 f n ( t ) = e t t n + 2 n ! = 1 n ! t n + 2 / e t Et comme t n + 2 = o ( e t ) alors lim t + t 2 f n ( t ) = 0 .

      On a donc 0 f n ( t ) = o ( t 2 )

      Et comme + t 2 t converge (intégrale de Rieman), par comparaison de fonctions positives, l'intégrale 0 + f n ( t ) t impropre en + converge également.

      Conclusion :

      0 + f n ( t ) t est convergente.

    2. Pour x 0 , On intègre par parties (sur [ 0 , x ] , f n est donnée par la première formule)

      u ( t ) = t n : u ( t ) = n t n 1 : v ( t ) = e t : v ( t ) = e t

      Et comme u et v sont C 1 0 x f n ( t ) t = [ 1 n ! t n e t ] 0 x 0 x 1 n ! n t n 1 e t t et pour n 1 : n ! = n ( n 1 ) ! donc

      Conclusion :

      n * , x [ 0 ; + [ ,    0 x f n ( t ) t = e x x n n ! + 0 x f n 1 ( t ) t

    3. On procède alors par récurrence :

      • Pour n = 0 : 0 x f 0 ( t ) t = 0 x e t t = [ e t ] 0 x = 1 e x 1 quand x +

        Donc 0 + f 0 ( t ) d converge et vaut 1

      • Soit n 0 tel que 0 + f n ( t ) t = 1

        alors n + 1 1 et 0 x f n + 1 ( t ) t = e x x n + 1 ( n + 1 ) ! + 0 x f n ( t ) t 1 quand x + car x n + 1 e x = x n + 1 / e x et x n + 1 = o ( e x )

        Donc 0 + f n + 1 ( t ) d converge et vaut 1

      Conclusion :

      n ,    0 + f n ( t ) t converge et vaut 1

    4. f n est continue sur * et positive sur

      0 f n = 0 donc + f n = 1

      Conclusion :

      f n est la densité de probabilité d'une variable aléatoire.

  2. Pour tout entier naturel n , on définit la variable aléatoire X n admettant f n pour densité de probabilité.

    1. On calcule + t f n ( t ) t :

      0 t f n ( t ) t = 0 0 = 0 et

      0 x t f n ( t ) t = 0 x e t t n + 1 n ! t  c'est presque  f n + 1 = ( n + 1 ) 0 x e t t n + 1 ( n + 1 ) ! t ( n + 1 ) 0 + f n + 1 ( t ) t

      Donc X n a une espérance et E ( X n ) = n + 1

      Et de même pour E ( X n 2 ) par le théorème de transfert 0 x t 2 f n ( t ) t = 0 x e t t n + 2 n ! t = ( n + 1 ) ( n + 2 ) 0 x e t t n + 2 ( n + 2 ) ! t ( n + 1 ) ( n + 2 )

      donc l'intégrale est convergente donc absolument convergente, donc X n 2 a une espérance E ( X n 2 ) = ( n + 1 ) ( n + 2 )

      et X n a une variance qui est :

      V ( X n ) = ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 1 ) 2 = ( n + 1 ) ( n + 2 1 ) = n + 1

      Conclusion :

      E ( X n ) = n + 1 et    V ( X n ) = n + 1

    2. Dans cette question, on suppose que n = 4 . On donne les valeurs approchées à 10 2 suivantes: 0 4 f 4 ( t ) t 0 , 37    0 6 f 4 ( t ) t 0 , 71    0 8 f 4 ( t ) t 0 , 90 La fonction de répartition F 4 de X 4 est continue sur et dérivable là où f 4 est continue :

      sur * et en 0 : f 4 ( x ) = 0 0 = f 4 ( 0 ) quand x 0

      Donc f 4 est continue et F 4 est dérivable sur .

      Pour x ] , 0 ] : F 4 ( x ) = x 0 = 0

      En 0 + : F 4 ( 0 + ) = f 4 ( 0 ) = 0 donc on a une tangente horizontale à l'origine.

      En + : F 4 1 asymptote horizontale.

      F 4 ( x ) = f 4 ( x ) et F 4

      D'où la courbe représentative.

      P ( X 4 > 4 ) = 1 P ( X 4 4 ) = 4 f 4 = 0 4 f 4 0 , 37

      Comme 4 8 : P ( 4 < X 4 8 ) = F 4 ( 8 ) F 4 ( 4 ) 0 , 90 0 , 37 0 , 53

  3. Pour tout réel t > 0 , on définit la variable aléatoire Y t égale au nombre de voitures arrivant à un péage d'autoroute de l'instant 0 à l'instant t .
    On suppose que la variable aléatoire Y t suit une loi de Poisson de paramètre t .

    1. Pour tout réel t > 0 , E ( Y t ) = V ( t ) = t

      Pour tout entier naturel n non nul, on définit la variable aléatoire réelle Z n , prenant ses valeurs dans + , égale à l'instant d'arrivée de la n i e ` m e voiture au péage à partir de l'instant 0 .

    2. Soient t ] 0 ; + [ et n * .
      ( Z n t ) signifie que la n i e ´ m e voiture arrive au plus tard à t

      Et comme le nombre de voiture va croissant avec le temps, cela signifie qu'à l'instant t , il y a eu au moins n voiture.

      Conclusion :

      ( Z n t ) = ( Y t n )

    3. La fonction de répartition de Z n est donc donnée par :

      F ( t ) = P ( Z n t ) = P ( Y t n ) = 1 P ( Y t < n )

      Avec P ( Y t < n ) = k = 0 n 1 P ( Y t = k ) = k = 0 n 1 e t t k k !

      Conclusion :

      F ( t ) = { 1 k = 0 n 1 e t t k k ! si  t 0 0 si  t < 0

    4. On vérifie les conditions pour être fonction de répartition de variable à densité :

      F est continue sur ] , 0 [ et sur [ 0 , + [

      En 0 : F ( t ) 0 = F ( 0 ) donc F est continue sur

      F est de classe C 1 sur *

      Donc Z n est à densité et a pour densité F ( t )

      Pour t > 0 : (la puissance 0 , ne se dérive pas comme les autres)

      Dérivée d'une somme F ( t ) = e t k = 1 n 1 1 k ! ( k e t t k 1 t k e t ) = e t k = 1 n 1 k k ! e t t k 1 + k = 1 n 1 t k k ! e t = e t k = 1 n 1 1 ( k 1 ) ! t k 1 e t + k = 1 n 1 t k k ! e t = e t h = 0 n 2 t h e t h ! + k = 1 n 1 t k k ! e t = e t t 0 e t 0 ! + t n 1 ( n 1 ) ! e t = f n 1 ( t )

      et pour t < 0 , F ( t ) = 0 = f n 1 ( t )

      Conclusion :

      Z n admet f n 1 comme densité de probabilité