EML 2001

  1. Pour tout entier naturel n , on considère la fonction f n : définie par : t , f n ( t ) = { e t t n n !  si  t > 0 0  si  t 0

    1. Soit n . Montrer que lim t + t 2 f n ( t ) = 0 .

      En déduire que l'intégrale 0 + f n ( t ) t est convergente.

    2. Montrer : n * , x [ 0 ; + [ ,    0 x f n ( t ) t = e x x n n ! + 0 x f n 1 ( t ) t .

    3. En déduire : n ,    0 + f n ( t ) t = 1

    4. Montrer que, pour tout entier naturel n , la fonction f n est la densité de probabilité d'une variable aléatoire.

  2. Pour tout entier naturel n , on définit la variable aléatoire X n admettant f n pour densité de probabilité.

    1. Montrer que, pour tout entier naturel n , l'espérance E ( X n ) et la variance V ( X n ) vérifient: E ( X n ) = n + 1    V ( X n ) = n + 1

    2. Dans cette question, on suppose que n = 4 . On donne les valeurs approchées à 10 2 suivantes: 0 4 f 4 ( t ) t 0 , 37    0 6 f 4 ( t ) t 0 , 71    0 8 f 4 ( t ) t 0 , 90 Tracer l'allure de la courbe représentative de la fonction de répartition de X 4 .
      Déterminer une valeur décimale approchée de la probabilité P ( X 4 > 4 ) et une valeur décimale approchée de la probabilité P ( 4 < X 4 8 ) .

  3. Pour tout réel t > 0 , on définit la variable aléatoire Y t égale au nombre de voitures arrivant à un péage d'autoroute de l'instant 0 à l'instant t .
    On suppose que la variable aléatoire Y t suit une loi de Poisson de paramètre t .

    1. Rappeler, pour tout réel t > 0 , les valeurs de l'espérance et de la variance de Y t .

      Pour tout entier naturel n non nul, on définit la variable aléatoire réelle Z n , prenant ses valeurs dans + , égale à l'instant d'arrivée de la n i e ` m e voiture au péage à partir de l'instant 0 .

    2. Soient t ] 0 ; + [ et n * .
      Justifier l'égalité de l'événement ( Z n t ) et de l'événement ( Y t n )

    3. En déduire, pour tout entier naturel n non nul, la fonction de répartition de la variable aléatoire réelle Z n .

    4. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, la variable aléatoire Z n admet f n 1 comme densité de probabilité.