EDHEC 2005

Dans cet exercice, a désigne un réel strictement positif.

  1. On considère la fonction f sur par : f ( t ) = { a ( 1 t ) a 1 si  t [ 0 , 1 [ 0 si  t [ 0 , 1 [

    1. Pour tout x de [ 0 , 1 [ , calculer 0 x f ( t ) t

    2. En déduire que 0 1 f ( t ) t est une intégrale convergente et donner sa valeur.

    3. Montrer que f peut être considérée comme une fonction densité de probabilité.

      On considère maintenant une variable aléatoire X admettant f comme densité et on note F sa fonction de répartition.

  2. Expliciter F ( x ) pour tout réel x .

    On se propose de déterminer l'espérance E ( X ) et la variance V ( X ) de la variable aléatoire X . Pour ce faire, on pose Y = ln ( 1 X ) et on admet que Y est une variable aléatoire à densité. On note alors G sa fonction de répartition.

    1. Pour tout réel x positif, exprimer G ( x ) en fonction de x

    2. En déduire que Y suit la loi exponentielle de paramètre a .

    1. Pour tout réel λ > 0 , donner la valeur de 0 + e λ x x .

    2. En déduire que la variable aléatoire e Y possède une espérance et donner sa valeur en fonction de a .

    3. Exprimer X en fonction de Y , puis en déduire que X possède une espérance dont on donnera l'expression en fonction de a .

    4. Montrer que la variable aléatoire e 2 Y possède une espérance et que E ( e 2 Y ) = a a + 2

      En déduire la variance de e Y puis la variance de X .