Corrigé HEC 2004 par Pierre Veuillez

  1. Étude d'une suite et programmation
    On note ( c n ) n × la suite réelle définie pour tout entier n strictement positif par : c n = 0 1 x n 1 1 + x x

    1. Pour tout x [ 0 , 1 ] on a x n 1 x n = x n 1 ( 1 x ) 0 donc x n 1 1 + x x n 1 + x 0

      Les bornes étant croissantes, 0 1 x n 1 1 + x x 0 1 x n 1 + x x 0

      Conclusion :

      ( c n ) n × est une suite décroissante de réels positifs.

    2. On a : c n + 1 + c n = 0 1 x n + x n 1 1 + x x = 0 1 x n 1 1 + x 1 + x x = 1 n Conclusion :

      Pour tout entier n strictement positif, l'on a : c n + 1 + c n = 1 n

    3. On compile les deux résultats précédents :

      Comme la suite c est décroissante c n + 1 c n d'où

      2 c n + 1 c n + 1 + c n 2 c n donc 2 c n 1 n et 2 c n + 1 1 n pour n 1 soit 2 c n 1 n 1 pour tout n 2.

      Conclusion :

      pour tout entier n supérieur ou égal à 2 , la double inégalité : 1 n 2 c n 1 n 1

      On fat alors apparaiter des limite "1" : 1 2 n c n 1 2 ( n 1 )  et  1 c n 1 / 2 n 1 1 1 / n Donc par encadrement c n 1 / 2 n 1 et

      Conclusion :

      c n 1 2 n quand n +

    4. On a c 1 = 0 1 1 1 + x x = [ ln ( 1 + x ) ] 0 1 = ln ( 2 )

      La suite vient de c n + 1 + c n = 1 n pour n 1 :

      c 2 = 1 c 1 = 1 ln ( 2 )

      Et on vérifie que ( 1 ) 2 ( k = 1 1 ( 1 ) k + 1 k ln 2 ) = 1 ln ( 2 ) = c 2

      Soit n 2 tel que c n = ( 1 ) n ( k = 1 n 1 ( 1 ) k + 1 k ln 2 ) alors

      c n + 1 = 1 n c n = 1 n ( 1 ) n ( k = 1 n 1 ( 1 ) k + 1 k ln 2 ) = ( 1 ) n + 1 ( k = 1 n 1 ( 1 ) k + 1 k + ( 1 ) n + 1 n ln 2 ) = ( 1 ) n + 1 ( k = 1 n ( 1 ) k + 1 k ln 2 )

      Conclusion :

      la propriété est vraie pour tout n 2

    5. Pour écrire un programme en Turbo-Pascal, on peut calculer la somme avec les puissances (un accumulateur pour les puissance de 1 et un pour la somme) ou plus simplement passer par c n + 1 = 1 n c n : (dans le programme, n désigne l'indice précédent)

      program cn;

      var n,i:integer;c:real;

      begin

      writeln('n?'); readln(n);

      c:=ln(2);

      for i:=1 to n-1 to c:=1/i -c;

      writeln(c);

      end.

  2. Étude d'une suite de variables aléatoires à densité
    Pour tout entier n strictement positif, on note f n l'application de dans définie par : f n ( t ) = { 0 si t < 1 1 c n t n ( 1 + t ) si t 1

    1. Pour changer x en 1 / x on pense à u = 1 t ou dans le sens facile t = 1 u : t = 1 u 2 u : t = 1 u = 1 : t = x u = 1 x

      (Changement de variable valide car u 1 u C 1 sur [ 1 / x , 1 ] et t 1 t n ( 1 + t ) sur l'intervalle image [ 1 , x ] )

      On a donc 1 x 1 t n ( 1 + t ) t = 1 1 / x 1 ( 1 u ) n ( 1 + 1 u ) 1 u 2 u = 1 1 / x u n 1 ( u + 1 ) t = 1 / x 1 u n 1 1 + u u

    2. Quand x + on a 1 / x 1 u n 1 1 + u u 0 1 u n 1 1 + u u = c n

      Donc 1 + 1 t n ( 1 + t ) t impropre en + converge et vaut c n

      On test alors les cirètres :

      f n est positive sur et continue sur { 1 } .

      De plus 1 f n = 0 donc + f n = c n c n = 1

      Conclusion :

      pour tout entier n strictement positif, f n est une densité de probabilité

      Dans la suite de l'exercice, on suppose que ( X n ) n × est une suite de variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé ( Ω , 𝒜 , P ) , telle que, pour tout entier n strictement positif, X n prend ses valeurs dans [ 1 , + [ et admet f n comme densité. On note F n la fonction de répartition de X n .

    3. X n a une espérance si + t f n ( t ) t converge.

      En , 1 t f n ( t ) t = 0

      En + : t f n ( t ) = 1 c n t n 1 ( 1 + t ) = 1 c n t n ( 1 + 1 / t ) 1 c n t n dont l'intégralle (de Riemann) converge si et seulement si n > 1

      (et comme n entier, pour n 2 )

      Et par comparaison de fonctions positives,

      Conclusion :

      X n a une espérance si et seulement si n 2

      1 + t f n ( t ) t = 1 + 1 c n t n 1 ( 1 + t ) t = c n c n 1 1 + 1 c n 1 t n 1 ( 1 + t ) t = c n c n 1 1 + f n 1 = c n c n 1 Conclusion :

      pour n 2 : E ( X n ) = c n c n 1

    4. Pour n = 1 on a c 1 = ln ( 2 ) et

      F 1 ( x ) = x 0 = 0 si x 1 et F 1 ( x ) = 1 0 + 1 x 1 ln ( 2 ) t ( 1 + t ) t

      un eméthode classique (mais avec indication ) serait d'écrire 1 t ( 1 + t ) = 1 t 1 1 + t pour primitiver .

      Ici, on peut plutot réécrire F 1 ( x ) = 1 x 1 ln ( 2 ) t ( 1 + t ) t = 1 ln ( 2 ) 1 / x 1 u 0 1 + u u = 1 ln ( 2 ) [ ln ( 1 + u ) ] 1 / x 1 = ln ( 2 ) ln ( 1 + 1 x ) ln ( 2 )  si  x > 1

      Donc P ( X 1 y ) 1 2 est impossible pour y 1 P ( X 1 y ) 1 2 F 1 ( y ) 1 2 1 ln ( 1 + 1 x ) ln ( 2 ) 1 2 ln ( 1 + 1 x ) 1 2 ln ( 2 )  car  ln ( 2 ) > 0 1 + 1 x 2 x 1 2 1 = 2 + 1  car  x > 0 Conclusion :

      P ( X 1 y ) 1 2 pour y [ 2 + 1 ; + [

      Z est définie car X ne prend que des valeurs positives.

      Sa fonction de répartition G vérifie :

      G ( x ) = P ( Z x ) = P ( X e x ) = F 1 ( e x ) et comme F 1 est continue sur et C 1 sur { 1 } alors G est continue sur et C 1 sur * ( e x 1 )

      Donc Z est à densité et une densité de Z est donnée par g ( x ) = G ( x ) = e x F 1 ( e x )

      Conclusion :

      une densité de Z est g ( x ) = { 0  si  x 0 1 ln ( 2 ) ( 1 + e x ) si  x > 0

    5. Soit x un réel strictrement supérieur à 1 .
      Pour tout u [ 1 x , 1 ] on a 0 < 1 + u 1 et 1 ( 1 + u ) 2 1 d'où 0 u n ( 1 + u ) 2 u n .

      Les bornes étant en ordre croissant, 0 1 / x 1 u n ( 1 + u ) 2 u 1 n + 1 1 / x 1 1 u = 1 1 x n + 1 1 n + 1 et comme 1 n + 1 0 , par encadrement

      Conclusion :

      lim n + ( 1 / x 1 u n ( 1 + u ) 2 u ) = 0

      Pour x 1 : F n ( x ) = 1 x 1 c n t n ( 1 + t ) t = 1 c n 1 / x 1 u n 1 1 + u u

      avec h ( u ) = 1 1 + u : h ( u ) = 1 ( 1 + u ) 2 : k ( u ) = u n 1 et k ( u ) = 1 n u n

      h et k étant C 1 on a F n ( x ) = 1 c n ( [ u n n ( 1 + u ) ] 1 / x 1 1 / x 1 u n n ( 1 + u ) 2 u ) = 1 c n ( 1 2 n ( 1 / x ) n ( 1 + 1 x ) 1 / x 1 u n n ( 1 + u ) 2 u )  FI

      On rappelle que c n 1 2 n F n ( x ) = 1 2 n c n ( 1 n / x n 2 ( 1 + 1 x ) + 1 2 1 / x 1 u n ( 1 + u ) 2 u ) 1

      car n = o ( x n ) pour x > 1

      Conclusion :

      lim n + F n ( x ) = 1.

    6. Si x 1 alors F n ( x ) = 0 et lim n + F n ( x ) = 0

      Donc la limite de la fonction de répartition est nulle avant 1 et 1 après.

      Ce qui est la fonction de répartition de la variable aléatoire certaine 1

      Conclusion :

      ( X n ) n × converge en loi vers 1