HEC 2004

  1. Étude d'une suite et programmation
    On note ( c n ) n × la suite réelle définie pour tout entier n strictement positif par : c n = 0 1 x n 1 1 + x x

    1. Montrer que ( c n ) n × est une suite décroissante de réels positifs.

    2. Montrer que, pour tout entier n strictement positif, l'on a : c n + 1 + c n = 1 n

    3. Établir, pour tout entier n supérieur ou égal à 2 , la double inégalité : 1 n 2 c n 1 n 1 En déduire un équivalent simple de c n quand n tend vers l'infini.

    4. Calculer c 1 et prouver, pour tout entier n supérieur ou égal à 2 , l'égalité : c n = ( 1 ) n ( k = 1 n 1 ( 1 ) k + 1 k ln 2 )

    5. Écrire un programme en Turbo-Pascal qui, pour une valeur d'un entier n strictement positif entrée par l'utilisateur, calcule et affiche la valeur de c n .

  2. Étude d'une suite de variables aléatoires à densité
    Pour tout entier n strictement positif, on note f n l'application de dans définie par : f n ( t ) = { 0 si t < 1 1 c n t n ( 1 + t ) si t 1

    1. À l'aide d'un changement de variable, établir pour tout entier n strictement positif et pour tout réel x supérieur ou égal à 1 , l'égalité : 1 x 1 t n ( 1 + t ) t = 1 / x 1 u n 1 1 + u u

    2. En déduire que, pour tout entier n strictement positif, f n est une densité de probabilité. Dans la suite de l'exercice, on suppose que ( X n ) n × est une suite de variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé ( Ω , 𝒜 , P ) , telle que, pour tout entier n strictement positif, X n prend ses valeurs dans [ 1 , + [ et admet f n comme densité. On note F n la fonction de répartition de X n .

    3. Pour quelles valeurs de n la variable aléatoire X n admet-elle une espérance? Dans le cas où l'espérance de X n existe, calculer cette espérance en fonction de c n et de c n 1 .

    4. Dans cette question, exclusivement, on suppose que n est égal à 1 . Préciser la fonction F 1 .
      En déduire l'ensemble des réels y vérifiant P ( [ X 1 y ] ) 1 2 Déterminer une densité de la variable aléatoire Z = ln ( X 1 ) .

    5. Soit x un réel strictrement supérieur à 1 .
      Justifier l'encadrement : 0 1 / x 1 u n ( 1 + u ) 2 u 1 n + 1 En déduire la limite suivante : lim n + ( 1 / x 1 u n ( 1 + u ) 2 u ) .

      Transformer, pour tout entier naturel n non nul, F n ( x ) à l'aide d'une intégration par parties et en déduire l'égalité suivante : lim n + F n ( x ) = 1.

    6. Que vaut lim n + F n ( x ) si x est un réel inférieur ou égal à 1 ?
      Montrer que la suite de variables aléatoires ( X n ) n × converge en loi vers une variable que l'on précisera.