ESCP 1998

Toutes les variables al\eatoires consid\er\ees dans cet exercice sont suppos\ees d\efinies sur un m\eme espace probabilis\e, muni de la probabilit\e P .

Pour tout entier n 1 , soit X n une variable al\eatoire r\eelle v\erifiant P ( X n = k ) = 1 n pour tout entier k tel que 0 k n 1 . On pose

D'autre part, soit Z une variable al\eatoire de loi uniforme sur l'intervalle [ 0 , 1 ] .

    1. D\eterminer l'esp\erance E ( Z ) et la variance V ( Z ) de la variable al\eatoire Z .

    2. Calculer, pour tout n 1 , l'esp\erance et la variance de Y n .

      D\eterminer les limites des suites ( E ( Y n ) ) n 1 et ( V ( Y n ) ) n 1 .

    3. Montrer que, pour toute fonction f de classe 𝒞 1 sur [ 0 , 1 ] , \a valeurs r\eelles, strictement monotone, on a

  1. Pour tout r\eel x on note E n t ( x ) la partie enti\ere de x , c'est-\a-dire le plus grand nombre entier relatif inf\erieur ou \egal \a x .

    1. Montrer que, pour tout r\eel x ,

    2. Soit a et b deux r\eels v\erifiant 0 a b 1 et soit I n ( a , b ) le nombre d'entiers k v\erifiant a < k n b . Montrer que I n ( a , b ) = E n t ( n b ) E n t ( n a ) .

    3. Montrer que, si 0 a b 1 ,

  2. Pour tout entier n 1 on note Z n la variable al\eatoire 1 n E n t ( n Z ) et on pose D n = Z Z n .

    1. Montrer Z n et Y n ont m\eme loi de probabilit\e.

    2. Trouver la fonction de r\epartition et une densit\e de D n .

    3. Pour un entier k tel que 0 k n 1 et un r\eel y tel que 0 y 1 n , exprimer \a l'aide de la variable al\eatoire Z l'\ev\enement { Z n = k n  et D n y } . En d\eduire la valeur de P ( Z n = k n  et D n y ) .

    4. Montrer que les variables aléatoires Z n et D n sont indépendantes.