Corrigé EDHEC 2006 par Pierre Veuillez

On considère la fonction f définie par: f ( x ) = { 1 2 ( 1 x ) 2 si  x [ 0 , 1 2 [ 1 2 x 2 si  x [ 1 2 , 1 [ 0 sinon .

  1. On vérifie les criètres d'une densité de probabilité :

    Conclusion :

    f est une densité de probabilité.

    Dans toute la suite, on considère une variable aléatoire X définie sur un certain espace probabilisé ( Ω , 𝒜 , P ) et admettant la fonction f pour densité.

  2. Pour tout x réel, on a F ( x ) = x f

  3. On étudie la convergence de + t f ( t ) t impropre en ± :

    Donc + t f ( t ) t converge et X a une espérance

    Conclusion :

    X a une espérance et E ( X ) = 1 2

    1. Par le théoréme de transfert, on étudie l'absolue convergence de + ( t 1 ) 2 f ( t ) t impropre en ±

      Ce qui équivaut ici à la convergence simple car ( t 1 ) 2 est de signe constant au voisinage de ± .

      • 0 | ( t 1 ) 2 f ( t ) | t = 0 ( t 1 ) 2 f ( t ) t = 0 0 = 0

      • 0 1 / 2 | ( t 1 ) 2 f ( t ) | t = 0 1 / 2 ( t 1 ) 2 f ( t ) t = 0 1 / 2 ( t 1 ) 2 2 ( 1 t ) 2 t = [ 1 2 t ] 0 1 / 2 = 1 4

      • sur [ 1 / 2 , 1 ] il faut développer :

        1 / 2 1 | ( t 1 ) 2 f ( t ) | t = 1 / 2 1 ( t 1 ) 2 f ( t ) t = 1 / 2 1 t 2 2 t + 1 2 t 2 t = 1 / 2 1 1 2 1 t + 1 2 t 2 t = [ 1 2 t ln ( t ) 1 2 t ] 1 / 2 1 = 1 2 1 2 1 4 ln ( 2 ) + 1 = 3 4 ln ( 2 )

      • 1 + | ( t 1 ) 2 f ( t ) | t = 1 + ( t 1 ) 2 f ( t ) t = 0

      Donc + ( t 1 ) 2 f ( t ) t converge absolument donc ( X 1 ) 2 a une espérance et E ( ( X 1 ) 2 ) = + ( t 1 ) 2 f ( t ) t = 1 ln ( 2 )

      Conclusion :

      E ( ( X 1 ) 2 ) = 1 ln ( 2 )

    2. On a alors X 2 = ( X 1 ) 2 + 2 X 1

      Donc X 2 a une espérance et E ( X 2 ) = E ( ( X 1 ) 2 ) + 2 E ( X ) 1 = 1 ln ( 2 ) + 1 1 = 1 ln ( 2 )

      Donc X a une variance et V ( X ) = E ( X 2 ) E ( X ) 2 = 3 4 ln 2 .

      Conclusion :

      X a une espérance et V ( X ) = 3 4 ln 2 .

  4. On appelle variable indicatrice d'un événement A , la variable de Bernoulli qui vaut 1 si A est réalisé et 0 sinon.

    On considère maintenant la variable aléatoire Y , indicatrice de l'événement ( X 1 2 ) et la variable aléatoire Z , indicatrice de l'événement ( X > 1 2 ) .

    1. On a Y = 1 quand Z = 0 et Y = 0 quand Z = 1.

      On a donc Y = 1 Z

      Comme Y est fonction affine de Z alors le coefficient de corrélation linéaire vaut ± 1

      Et comme le coefficiant directeur es tnégatif, alors ρ ( Y , Z ) = 1

    2. D'autre part, le coefficient de corrélation linéaire est ρ ( Y , Z ) = c o v ( Y , Z ) σ ( Y ) σ ( Z )

      Donc c o v ( Y , Z ) = σ ( Y ) σ ( Z )

      Et comme V ( Y ) = ( 1 ) 2 V ( Z ) , alors σ ( Y ) = σ ( Z ) = V ( Y )

      On a P ( Y = 1 ) = P ( X 1 2 ) = F ( 1 2 ) = 1 2

      Donc Y ( 1 2 ) et V ( Y ) = 1 2 ( 1 1 2 ) = 1 4 donc σ ( Y ) = 1 2

      Conclusion :

      c o v ( Y , Z ) = 1 4