EDHEC 2006

On considère la fonction f définie par: f ( x ) = { 1 2 ( 1 x ) 2 si x [ 0 , 1 2 [ 1 2 x 2 si x [ 1 2 , 1 [ 0 sinon .

  1. Montrer que f peut être considérée comme une densité de probabilité.
    Dans toute la suite, on considère une variable aléatoire X définie sur un certain espace probabilisé ( Ω , 𝒜 , P ) et admettant la fonction f pour densité.

  2. Déterminer la fonction de répartition F de X .

  3. Montrer que X a une espérance et que celle-ci vaut 1 2 .

    1. Déterminer 𝔼 ( ( X 1 ) 2 ) .

    2. En déduire que X a une variance et que 𝕍 ( X ) = 3 4 ln 2 .

  4. On appelle variable indicatrice d'un événement A , la variable de Bernoulli qui vaut 1 si A est réalisé et 0 sinon.

    On considère maintenant la variable aléatoire Y , indicatrice de l'événement ( X 1 2 ) et la variable aléatoire Z , indicatrice de l'événement ( X > 1 2 ) .

    1. Préciser la relation liant Y et Z puis établir sans calcul que le coefficient de corrélation linéaire de Y et Z , noté ρ ( Y , Z ) , est égal à - 1.

    2. En déduire la valeur de la covariance de Y et Z .