Corrigé (CCIP 94) par Pierre Veuillez

Seconde méthode (poolage) : on fixe un entier naturel non nul . On suppose que N est un multiple de et on pose N = n . On répartit les N prélèvements en n groupes G 1 , G 2 , , G n , chaque groupe G i contenant prélèvements. Pour chacun des groupes G i , on extrait une quantité de sang de chacun des prélèvements qu'il contient, puis on mélange ces extraits, obtenant ainsi un échantillon de sang H i , caractéristique du groupe G i .
On teste alors H i .
- si le test de H i est négatif, aucun des individus au sein du groupe G i n'est porteur du parasite.
Le travail sur le groupe G i est alors terminé ;
- si le test de H i est positif, on teste un à un les prélèvements de G i pour détecter les porteurs du parasite au sein du groupe G i .

Soient X la variable aléatoire égale au nombre de groupes G i pour lesquels le test de H i a été positif et T la variable aléatoire égale au nombre total de tests effectués dans la réalisation de la méthode du poolage.

  1. On effectue d'abord un test sur chacun des n groupes ( n tests). Puis sur chacun des X groupes positifs, on réeffectue un test sur chacun des induvidu ( X tests). On en a donc fait au total: T = n + . X

  2. Les personnes d'un groupes sont affectées indépendemment les unes des autres avec une probabilité p . Donc le nombre de ceux infectés suit une loi binômiale de paramètres et P ( "le test de H i est négatif" ) = ( 0 ) p 0 q = q avec q = 1 p .

  3. X est le nombre de groupes positif en n tests indépendants. La probilité d'être positif pour chacun étant de 1 q . X suit donc une loi binômiale de paramètres n et ( 1 q ) .

    Donc E ( X ) = n . ( 1 q ) .

  4. Comme T = n + . X alors E ( T ) = E ( n + . X ) = n + . E ( X ) = n + . n . ( 1 q ) = n ( 1 + ( 1 q ) )

    La méthode est donc avantageuse si E ( T ) < N = . n donc si n ( 1 + ( 1 q ) ) < . n ce que l'on résout: avantageux 1 + ( 1 q ) < 1 q < 0 q > 1 q > 1 / ln ( q ) > ln ( ) q > e 1 ln ( ) = 1 / 1 /

    donc si la probabilité d'être épargné est suffisemment grande.

(CCIP 94)