(CCIP 94)

On étudie une méthode de détection des porteurs d'un parasite au sein d'un ensemble donné de N individus tirés au sort. La probabilité d'être porteur du parasite dans la population est p avec O < p < 1 . Les personnes sont atteintes indépendemment les unes des autres.

On dispose d'un test permettant d'établir de façon certaine qu'un échantillon de sang contient ou non le parasite, le résultat de ce test étant dit positif dans le premier cas et négatif dans le second.

Pour chacun des N individus, on poss\ede un pr\el\evement sanguin. On envisage alors deux m\ethodes de d\etection.


Soient X la variable aléatoire égale au nombre de groupes G i pour lesquels le test de H i a été positif et T la variable aléatoire égale au nombre total de tests effectués dans la réalisation de la méthode du poolage.

  1. Exprimer T à l'aide de n , l et X .

  2. Pour tout nombre entier naturel i compris entre 1 et n , calculer la probabilité de l'événement : ''le test de H i est négatif''

  3. Déterminer la loi de probabilité et l'espérance de X .

  4. Déterminer enfin l'espérance de T et préciser sous quelles conditions cette seconde méthode est la plus avantageuse.

(CCIP 94)