(D'après CCIP 1997 Maths II option Economique)

On considère une population d'environ 10 000 consommateurs, dont chacun est susceptible d'acheter une voiture, soit de marque étrangère, soit de marque française.

Un organisme de sondage interroge 100 consommateurs pris au hasard : 30 se révèlent préfèrer une marque étrangère (donc 70 une marque française).

L'enquète est publiée et influence parfaitement -cas d'école- la population dont 30% penche maintenant pour une marque étrangère (70% pour une marque française).

Un nouveau sondage est effectué : un échantillon de 100 consommateurs pris au hasard est interrogé, et le résultat publié influence parfaitement la population qui s'aligne sur les préférences de l'échantillon.

On recommence le tirage au hasard de 100 consommateurs, et ainsi de suite. Que se passe-t-il après un grand nombre de sondages ?



L'énnoncé théorique ci-dessous propose un modèle probabiliste pour répondre à cette question.

N est le nombre de personnes sondées.

Comme ce nombre de personne est petit par rapport à a taille de la population, la proportion de consommateurs préférants une marque étrangère ne change presque pas quand on retire de la population, au hasard, une à une, les personnes sondées.

On note k 0 le nombre de personnes penchants pour une marque étrangère avant le 1 e r sondage.

On suppose donc que pour tout entier n , si lors du n i e ` m e sondage il y avait une proportion p de personnes penchant pour une marque étrangère,

On note X n le nombre de personnes qui préférent une marque étrangère lors du n i e ` m e sondage.



L'énnoncé ci-dessous propose une étude des cas N = 2 et N = 3. les propriétés mises en évidence pâr cette étude peuvent se généraliser à une valeur quelcconque de N .




Préléminaire




Quelle est la loi de X n + 1 quand X n = k ?




Partie 1




Dans cette partie, N=2.

    1. On suppose que k 0 = 0. Déterminer la loi de X 1 .

      Que peut-on dire de la suite ( X n ) n 0 ?

    2. De même si k 0 = 2 , que peut-on dire de la suite ( X n ) n 0 ?

    On suppose désormais, dans la suite de cette partie, que k 0 = 1

    1. Montrer que, pour tout entier n , p ( X n = 1 ) = 1 2 n

      En déduire que pour tout entier n , p ( X n = 0 ) = p ( X n = 2 ) = 1 2 1 2 n + 1

    2. Quelles sont limites de ces probabilités ?




Partie 2




Dans cette partie , N = 3.

  1. Que dire de la suite ( X n ) n 0 si k 0 = 0 ? Si k 0 = 3 ?

    On suppose désormais, dans la suite de cette partie que k 0 = 1.

  2. Etant donné un entier n , déterminer p ( X n + 1 = 0 ) en fonction des valeurs de p ( X n = k ) , k { 0 , 1 , 2 , 3 }

    Déterminer de même p ( X n + 1 = 1 ) , p ( X n + 1 = 1 ) et p ( X n + 1 = 3 )

    Pour tout entier n , on pose U n = ( p ( X n = 0 ) p ( X n = 1 ) p ( X n = 2 ) p ( X n = 3 ) ) et A = ( 1 8 27 1 27 0 0 4 9 2 9 0 0 2 9 4 9 0 0 1 27 8 27 1 )

    Vérifier que U n + 1 = A U n

    1. Soit le vecteur ligne V = ( 0 , 1 , 2 , 3 ) . Calculer V A .

    2. Montrer que E ( X n ) = V U n pour tout entier n . En déduire E ( X n + 1 ) en fonction de E ( X n ) puis la valeur de E ( X n )

    1. Soit le vecteur ligne W = ( 0 , 2 , 2 , 0 ) . Calculer W A

    2. Soit n un entier naturel. Montrer que E ( X n ( 3 X n ) ) = W U n . en déduire que E ( X n ( 3 X n ) ) = 2 ( 2 3 ) n

    3. En déduire que pour tout entier n , p ( X n = 1 ) + p ( X n = 2 ) = ( 2 3 ) n .

    4. En déduire les limites p ( X n = 1 ) et de p ( X n = 2 ) quand n tend vers + . Puis à l'aide de E ( X n ) et d'une dernière relation entre les probabilités, déterminer lim n + p ( X n = i ) pour tout entier i de { 0 , 1 , 2 , 3 } .

    1. On pose Y 1 = ( 1 0 0 0 ) , Y 2 = ( 1 3 3 1 ) , Y 3 = ( 1 1 1 1 ) et Y 4 = ( 0 0 0 1 )

      Monter qu'elles sont colonnes propres de A . Quelles sont les valeurs propres associées ?

      On pose alors P = ( Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 )

    2. En déduire une matrice D diagonale telle que A P = P D . Montrer que P est inversible et calculer son inverse.

    3. Calculer A n pour tout entier n .

    1. Monter que la loi de X n est donnée par :

      p ( X n = 0 ) = 2 3 1 2 ( 2 3 ) n 1 6 ( 2 9 ) n    p ( X n = 0 ) = 1 2 ( ( 2 3 ) n + ( 2 9 ) n )    p ( X n = 0 ) = 1 2 ( ( 2 3 ) n ( 2 9 ) n ) p ( X n = 3 ) = 1 3 1 2 ( 2 3 ) n + 1 6 ( 2 9 ) n   

    2. Retrouver le résultat du 4.e)

(D'après CCIP 1997 Maths II option Economique)