Corrig\e par Pierre Veuillez

  1. Avec a = b = n on a: k = 0 n C n k . C n n k = C 2 n n

    et comme C n n k k = 0 n C n k . C n n k = k = 0 n ( C n k ) 2 = C 2 n n

  2. Probabilité de E n .

    1. Soient k et n deux entiers naturels tels que 0 < k < n .

      • la nombre de F a c e donné par une pièce équilibrée au cours de n jets indépendants ( p ( F ) = 1 / 2 ) suit une loi binômiale de paramètres n et 1 / 2. Donc la probabilité d'avoir k fois F a c e en n lancers est C n k ( 1 / 2 ) n

      • Les deux pièces étant indépendantes, la probablité p ( n , k ) pour que le nombre de ''Face'' donné par chacune des deux pièces à l'issue de la nième expérience soit égal à k . le produit de la probablité précédente par elle même: p ( n , k ) = ( C n k ( 1 / 2 ) n ) 2

    2. E n signifie que les deux pièce ont donné un même nombre de F a c e en n lancers. Ce même nombre étant compris entre 0 et n .

      Donc E n = k = 0 n F ( n , k ) Ces événements sont incompatibles donc p n = p ( E n ) = k = 0 n p ( F ( n , k ) ) = k = 0 n p ( n , k ) = k = 0 n ( C n k ) 2 ( 1 / 2 ) 2 n = ( 1 / 2 ) 2 n k = 0 n ( C n k ) 2 = C 2 n n 1 4 n

  3. Nombre moyen de réalisation de E k pour k n .

    Pour tout couple ( k , n ) d'entiers naturels tels que 1 k n , on note:

    (donc le nombre de fois où, durant les n premières expériences, il y a eu égalité des nombres de F a c e amenés par les deux piéces

    1. On a E ( X n ) = E ( B 1 ) + \dots + E ( B n )

      Or pour tout k , E ( B k ) = 0 p ( B k = 0 ) + 1 p ( B k = 1 ) = p ( B k = 1 ) = p ( E k ) = p k donc E ( X n ) = p 1 + \dots + p n

    2. D'où E ( X n ) = k = 1 n p k = k = 1 n C 2 k k 1 4 k ? = ? ( 2 n + 1 ) C 2 n n 4 n 1

      Par récurrence:

      Pour n = 1 est-ce que k = 1 1 C 2 k k 1 4 k = ( 2.1 + 1 ) C 2 1 4 1 1 k = 1 1 C 2 k k 1 4 k = C 2 1 1 4 2 = 1 2  et  ( 2.1 + 1 ) C 2 1 4 1 1 = 6 4 1 = 1 2

      Oui!

      Soit n 1 tel que k = 1 n C 2 k k 1 4 k = ( 2 n + 1 ) C 2 n n 4 n 1

      Est-ce que k = 1 n + 1 C 2 k k 1 4 k = ( 2 ( n + 1 ) + 1 ) C 2 ( n + 1 ) n + 1 4 n + 1 1 ?

      Or k = 1 n + 1 C 2 k k 1 4 k = k = 1 n C 2 k k 1 4 k + C 2 n + 2 n + 1 C 2 k k 1 4 n + 1 = ( 2 n + 1 ) C 2 n n 4 n 1 + C 2 n + 2 n + 1 1 4 n + 1 = 4 ( 2 n + 1 ) C 2 n n + C 2 n + 2 n + 1 4 n + 1 1

      Reste donc à montrer que 4 ( 2 n + 1 ) C 2 n n + C 2 n + 2 n + 1 = ( 2 ( n + 1 ) + 1 ) C 2 ( n + 1 ) n + 1 4 ( 2 n + 1 ) C 2 n n + C 2 n + 2 n + 1 = 4 ( 2 n + 1 ) ( 2 n ) ! n ! n ! + ( 2 n + 2 ) ! ( n + 1 ) ! ( n + 1 ) ! = 4 ( 2 n + 1 ) ( 2 n ) ! ( n + 1 ) 2 + ( 2 n + 2 ) ! ( n + 1 ) ! ( n + 1 ) ! = ( 4 ( n + 1 ) 2 + 2 n + 2 ) ( 2 n + 1 ) ! ( n + 1 ) ! ( n + 1 ) ! = ( 4 n 2 + 8 n + 4 + 2 n + 2 ) ( 2 n + 1 ) ! ( n + 1 ) ! ( n + 1 ) ! = ( 4 n 2 + 10 n + 6 ) ( 2 n + 1 ) ! ( n + 1 ) ! ( n + 1 ) ! = 2 ( 2 n 2 + 5 n + 2 ) ( 2 n + 1 ) ! ( n + 1 ) ! ( n + 1 ) ! = 2 ( 2 n + 3 ) ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ! ( n + 1 ) ! ( n + 1 ) ! = ( 2 n + 3 ) ( 2 n + 2 ) ! ( n + 1 ) ! ( n + 1 ) ! = ( 2 ( n + 1 ) + 1 ) C 2 ( n + 1 ) n + 1

      Donc la formule est vraie pour tout entier n 1