1. On rappel que pour a , b et n entiers. k = 0 n C a k . C b n k = C a + b n

    En déduire que: k = 0 n ( C n k ) 2 = C 2 n n

    On considère une suite d'expériences aléatoires dont chacune consiste à jeter simultanément deux pièces équilibrées.

    Pour tout entier naturel non nul n , on se propose de déterminer la probabilité p n de l'évènement E n défini de la façon suivante: ''A l'issue de la n i e ` m e experience, les nombres de F a c e amenés par les deux pièces sont égaux''.

  2. Probabilité de E n .

    1. Soient k et n deux entiers naturels tels que 0 < k < n .

      Déterminer:

      • la probabilité pour que le nombre de F a c e donné par une pièce équilibrée au cours de n jets soit égal à k .

      • La probabilité p ( n , k ) pour que le nombre de ''Face'' donné par chacune des deux pièces à l'issue de la nième expérience soit égal à k .

    2. Exprimer p n sous forme de somme puis explicitement. (On pourra, pour chaque entier k noter F ( n , k ) l'évènement ''les deux pièces donnent k F a c e lors des n premiers jets'')

  3. Nombre moyen de réalisation de E k pour k n .

    Pour tout couple ( k , n ) d'entiers naturels tels que 1 k n , on note:

    (donc le nombre de fois où, durant les n premières expériences, il y a eu égalité des nombres de F a c e amenés par les deux piéces

    1. Exprimer l'espérance de X n en fonction de p 1 , p 2 , , p n .

    2. Etablir l'égalité suivante: E ( X n ) = ( 2 n + 1 ) C 2 n n 4 n 1