Corrigé par Pierre Veuillez

  1. Etude directe d'un cas simple:

  2. Etude du cas général.

    1. A chaque tirage, quand on ne sait pas les numéros déjà tirés (donc en l'absence de conditionnement) tous les numéros sont équiprobables (et non pas les numéros restants). Donc p ( X i = 1 ) = p / n . Et E ( X i ) = p / n car X i suit une loi de Bernouilli.

      Donc E ( X ) = E ( X 1 ) + E ( X 2 ) + \dots + E ( X p ) = p p / n = p 2 / n

    2. X est le nombre de bon numéros tirés parmi n en p tirages sans remise, la proportion de bon étant p / n .

      Donc X suit une loi hypergéométrique de paramètres n , p et p / n .

      Donc 1 = k = 0 p p ( X = k ) = k = 0 p C p k . C n p p k C n p  et  k = 0 p C p k . C n p p k = C n p L'espérance de X est : p 2 n = k = 0 p k p ( X = k ) = k = 0 p k C p k . C n p p k C n p donc   k = 0 p k C p k . C n p p k = p 2 n C n p

    1. p ( Z i = 1 / X = k ) : le joueur a extrait k bon numéros. Le meneur retire alors p mauvais numéros. Il reste donc p k bons numéros parmi n 2 p qui sont équiprobables pour chaque tirage restant à faire. La probabilité de tirer alors un bon numéro est: p ( Z i = 1 / X = k ) = p k n 2 p

    2. On a alors d'après la formule des probabilités totales avec comme système comple d'évènements: ( X = k ) k [ [ 0 , p ] ]

      Pour 1 i p , p ( Z i = 1 ) = k = 0 p p ( Z i = 1 / X = k ) p ( X = k ) = k = 0 p ( p k ) ( n 2 p ) C p k . C n k p k C n p = 1 ( n 2 p ) C n p . k = 0 p ( p k ) C p k . C n k p k

    3. Z i suit une lmoi de Bernouilli donc E ( Z i ) = p ( Z i = 1 ) . Or k = 0 p ( p k ) C p k . C n k p k = p k = 0 p C p k . C n k p k k = 0 p k C p k . C n k p k = p C n p p 2 n C n p = p C n p ( n p ) n donc E ( Z i ) = 1 ( n 2 p ) C n p p C n p ( n p ) n = p ( n p ) ( n 2 p ) n On trouve alors bien E ( Z ) = E ( Z 1 ) + E ( Z 2 ) + \dots + E ( Z p ) = p 2 ( n p ) n ( n 2 p ) Reste à comparer les valeurs moyennes données par les stratégies A et B : E ( Z ) E ( X ) = p 2 ( n p ) n ( n 2 p ) p 2 n = p 2 ( n p ( n 2 p ) ) n ( n 2 p ) = p 3 n ( n 2 p ) > 0 La stratégie B est donc celle qui en moyenne donne le plus de bons numéros.