Dans un jeux il ya n numéros ( de 1 à n ) dont p numéros gagnants choisis à l'avance et connus du seul meneur du jeu.

On suppose que n * , p * , p n / 3 .

Dans la première phase du jeu, le joueur tire au hasard, successivement, p numéros différents. Le meneur de jeu dévoile alors p numéros perdants parmis les n p numéros qui n'ont pas été tirés.

Dans la deuxième phase du jeu, le joueur a le choix entre deux stratégies.

Le but de l'exercice est de d\eterminer laquelle de ces deux strat\egies permet d'esp\erer obtenir le plus de num\eros gagnants.

  1. Etude directe d'un cas simple:

    On suppose ici que n = 3 et p = 1 .

    Calculer la probabilité d'obtenir le numéro gagnant avec la stratégie A puis avec la stratégie B.

  2. Etude du cas général.

    Pour 1 i p , on note X i la variable aléatoire qui vaut 1 si le i e ` m e numéro tiré dans la première phase est gagnant, 0 sinon.

    On note X la variable aléatoire égale au nombre de numéros gagnants dans la première phase. Ainsi X = X 1 + + X p .

    1. Démontrer que pour 1 i p , p ( X i = 1 ) = p / n . En déduire que E ( X ) = p 2 / n

    2. Déterminer la loi de X . En déduire les formules: k = 0 p C p k . C n p p k = C n p    ( 2 ) k = 0 p k C p k . C n p p k = p 2 n . C n p

  3. On suppose désormais dans toute la suite que le joueur utilise la stratégie B .

    Pour 1 i p , on note Z i la variable aléatoire égale à 1 si le i e ` m e numéro tiré au cours de la deuxième phase est gagnant, à 0 sinon.

    On note Z la variable aléatoire égale au nombre de numéros gagnants parmi les pnuméros tirés au cours de la deuxième phase.

    1. pour tout entier k tel que 0 k n et pour 1 i p , calculer la probabilité conditionnelle: p ( Z i = 1 / X = k ) .

    2. Pour 1 i p , démontrer que p ( Z i = 1 ) = 1 ( n 2 p ) C n p k = 0 p ( p k ) C p k . C n p p k .

    3. En utilisant les formules démontrées en 1 vérifier que:

E ( Z ) = p 2 ( n p ) n ( n 2 p )

Des stratégies A et B , laquelle est-elle préférable?.