Corrigé HEC 1998 par Pierre Veuillez

      • u 1 = p ( U 1 ) = p ( F 1 F 2 ) = p ( P 1 ) p ( P 2 ) = q 2 (les lancers sont indépendants)

      • x 2 = p ( A 2 ) = p ( F 2 P 1 ) = p . q car on n'a pas deux F de suite et on a P 2 .

      • y 2 = p ( B 2 ) = p ( P 2 ( F 1 P 1 ) ) = p ( P 2 ) = q .

      • u 2 = p ( U 2 ) = p ( F 3 F 2 P 1 ) = p 2 . q car on n'a pas eu de F F avant.

      • x 3 = p ( A 3 ) = p ( F 3 P 2 ( F 1 P 1 ) ) avec P 2 car on n'a pas de F F

        = p ( F 3 P 2 ) = p . q

      • y 3 = p ( B 3 ) . Avec B 3 = on a P 3 , et avant on a pu avoir P 2 ou F 2 (ce qui ne fait pas de F F ).

        • Si on a eu P 2 , on a pu avoir P 1 ou F 1 .

        • Si on a eu F 2 , pour ne pas avoir de F F , il faut avoir eu P 1 .

        Donc B 3 = P 3 ( [ P 2 ( P 1 F 1 ) ] [ F 2 P 1 ] ) = P 3 [ P 2 ( F 2 P 1 ) ]

        et p ( B 3 ) = p ( P 3 ) . p ( P 2 [ F 2 P 1 ] ) = p ( P 3 ) ( p ( P 2 ) + p ( F 2 P 1 ) )

        car P 2 et F 2 sont incompatibles; et par indépendance des lancers

        y 3 = q ( q + p . q ) = q 2 ( 1 + p )

      • u 3 = p ( F 4 F 3 P 2 ( P 1 F 1 ) ) avec P 2 pour ne pas avoir F F avant.

        = p ( F 4 F 3 P 2 ) = p 2 . q

    1. x n = p ( A n ) et u n = p ( U n )

      Or U n = F n + 1 F n ( pas de F F avant), et B n = F n ( pas de F F avant)

      Donc U n = F n + 1 B n . Et, le lancer n + 1 étant indépendant des précédents, p ( U n ) = p ( F n + 1 ) . p ( B n ) = p . x n .

      • p ( A n + 1 / A n ) est la probabilité d'avoir F n + 1 , quand on eu F n , mais sans avoir de F F . (Ce qui est incompatible)

        Donc p ( A n + 1 / A n ) = 0 .

      • p ( A n + 1 / B n ) est la probabilité d'avoir F n + 1 , car on a eu P n et on aura donc pas de F F ni avant ni au dernier lancer.

        p ( A n + 1 / B n ) = p ( F n + 1 / B n ) = p ( F n + 1 ) = q . car le n + 1 i e ` m e lancer est indépendant des précédents.

      • p ( B n + 1 / A n ) est la probabilité d'avoir P n + 1 , puisque l'on a eu P n et que l'on aura donc pas de F F ni avant ni au dernier lancer.

        p ( B n + 1 / A n ) = p ( P n + 1 / A n ) = q .

      • De même p ( B n + 1 / B n ) = p ( P n + 1 ) = q .

    2. Erreur: A n et B n ne sont pas un système complet d'événements car on a pu avoir un F F avant le n i e ` m e lancer.

      Mais quand on n'a pas de F F jusqu'au n + 1 ième, on n'en a pas eu jusqu'au n i e ` m e .

      Donc A n + 1 = ( A n + 1 A n ) ( A n + 1 B n ) . Et comme A n et B n sont incompatibles : p ( A n + 1 ) = p ( A n + 1 A n ) + p ( A n + 1 B n ) = p ( A n + 1 / A n ) . p ( A n ) + p ( A n + 1 / B n ) . p ( B n ) = 0. p ( A n ) + p . p ( B n ) x n + 1 = p y n De même p ( B n + 1 ) = p ( B n + 1 / A n ) . p ( A n ) + p ( B n + 1 / B n ) . p ( B n ) = q . p ( A n ) + q . p ( B n ) y n + 1 = q ( x n + y n )

  1. On suppose, dans cette question que p = q = 1 / 2 .

    1. On a en substituant n + 1 à la place de n : y n + 2 = q ( x n + 1 + y n + 1 ) = q ( p . y n + y n + 1 ) = 1 2 y n + 1 + 1 4 y n .

      Montrons par récurrence que pour tout entier n 2 : 2 n y n = f n

      Il faut pour celà connaitre les deux termes précédents. Et on démontre donc que pour tout entier n 2 : 2 n y n = f n et 2 n + 1 y n + 1 = f n + 1 .

      • Pour n = 2 , on a y 2 = q = 1 / 2 , 4 y 2 = 2 et f 2 = f 1 + f 0 = 2 donc 2 2 y 2 = f 2

        et y 3 = q 2 ( 1 + p ) = 1 4 . 3 2 et 2 3 y 3 = 3. f 3 = f 2 + f 1 = 2 + 1 = 3 donc 2 3 y 3 = f 3 . CQFD

      • Soit n 2 tel que 2 n y n = f n et 2 n + 1 y n + 1 = f n + 1 .

        Est-ce que 2 n + 1 y n + 1 = f n + 1 et 2 n + 2 y n + 2 = f n + 2 ?

        Or 2 n + 1 y n + 1 = f n + 1 par hypothèse de récurrence. reste à calculer y n + 2 :

        2 n + 2 y n + 2 = 2 n + 2 ( 1 2 y n + 1 + 1 4 y n ) = 2 n + 1 y n + 1 + 2 n y n = f n + 1 + f n = f n + 2 CQFD

      • Donc pour tout n 2 , 2 n y n = f n .

    2. f n est une suite récurrente linéaire d'ordre 2.

      Son équation caractéristique est r 2 r 1 = 0 qui a pour discriminant est Δ = 1 + 4 = 5 > 0 et qui a deux racines α = 1 + 5 2 et β = 1 5 2 .

      On a donc pour tout entier n , f n = A α n + B β n avec A et B déterminés par les deux premisers termes :

      { f 0 = 1 = A α 0 + B β 0 f 1 = 1 = A α + B β donc A = 1 B et ( 1 B ) α + B β = 1 d'où B = 1 α β α = β β α = β α β car 1 β = 1 1 5 2 = 1 + 5 2 = α d'où A = 1 β α β = α α β et donc f n = α n + 1 β n + 1 α β .

    3. Donc pour tout entier n 2 , y n = f n / 2 n et x n + 1 = p y n = f n / 2 n + 1 (seulement pur n 2 )

      Donc en substituant n 1 à n , x n = f n 1 / 2 n pour n 3 . Or ceci est encore vrai pour n = 2 car x 2 = p q = 1 / 4 = f 1 / 4 .

      Enfin u n = p x n = x n / 2 = f n 1 / 2 n + 1 = α n β n ( α β ) 2 n + 1 pour tout n 2

    4. On calcule la somme : n = 1 N u n = n = 1 N α n β n ( α β ) 2 n + 1 = 1 2 ( α b ) n = 1 N α n 2 n 1 2 ( α b ) n = 1 N β n 2 n = 1 2 ( α b ) ( n = 1 N ( α / 2 ) n n = 1 N ( β / 2 ) n ) = 1 2 ( α b ) ( ( α / 2 ) N + 1 1 α / 2 1 ( β / 2 ) N + 1 1 β / 2 1 ) Or 0 < α / 2 < 1 et 0 < β / 2 < 1 donc ( β / 2 ) N 0 et ( α / 2 ) N 0.

      Donc n = 1 N u n 1 2 ( α b ) ( 1 α / 2 1 1 β / 2 1 ) = 1 2 ( α b ) . β / 2 α / 2 ( α / 2 1 ) ( β / 2 1 ) = 1 4 ( α / 2 1 ) ( β / 2 1 ) ( α / 2 1 ) ( β / 2 1 ) = ( 1 + 5 4 1 ) ( 1 5 4 1 ) = 3 + 5 4 3 5 4 = 9 5 16 = 1 4 Donc n = 1 N u n 1 (HEC 98)