HEC 1998




On effectue une suite de lancers avec une pièce de monnaie. On suppose que les résultats des lancers sont indépendants et que, à chaque lancer, la pièce donne face avec la probabilité p ( 0 < p < 1 ) et pile avec la probabilité q = 1 p .

L'objet de l'exercice est l'\etude du nombre de lancers n\ecessaires pour obtenir deux faces de suite, c'est \a dire lors de deux lancers cons\ecutifs.

Pour tout entier n 1 on note :

Pour tout entier n 2 , on note

et on pose x n = p ( A n ) et y n = p ( B n ) .

  1. Compréhension

    1. Déterminer u 1 , x 2 , y 2 , u 2 , x 3 , y 3 et u 3 .

    2. Trouver, pour n 2 , une relation simple entre x n et u n .

    3. Pour tout n 2 déterminer les probabilités conditionnelles : p ( A n + 1 / A n ) , p ( A n + 1 / B n ) , p ( B n + 1 / A n )  et  p ( B n + 1 / B n ) .

    4. En déduire, pour tout n 2 , les relations de récurrence suivantes: { x n + 1 = p y n y n + 1 = q ( x n + y n )

  2. On suppose, dans cette question que p = q = 1 / 2 .

    1. Soit ( f n ) n 0 la suite de nombres entiers définie par les conditions :

      f 0 = 1 , f 1 = 1 et pour tout entier n 0 , f n + 2 = f n + 1 + f n .

      Déterminer pour tout entier n 2 y n + 2 en fonction de y n + 1 et de y n .

      Montrer que, pour tout entier n 2 , on a 2 n y n = f n .

    2. On pose α = 1 + 5 2 et β = 1 5 2 . Montrer que l'on a pour tout n 0 : f n = α n + 1 β n + 1 α β .

    3. En déduire que pour tout entier n 2 , une expression de x n , puis de u n en fonction de n , α et β .

    4. Montrer que n = 1 N u n N + 1 .

(HEC 98)