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EDHEC 2000

Problème

Partie 1 : étude de quelques exemples.

Ici, on détaille chaque événement pour en donner ensuite la proabilité.

N'oubliez pas de justifier les calcul (indépendance, incompatibilité)

  1. Lors des deux premiers lancers, il peut y avoir 0 ou 1 changement: X 2 ( Ω ) = { 0 , 1 }

    ( X 2 = 0 ) = ( P 1 P 2 F 1 F 2 ) événements incompatibles, p ( X 2 = 0 ) = p ( P 1 P 2 ) + p ( F 1 F 2 ) lancers indépendants, p ( X 2 = 0 ) = p ( P 1 ) p ( P 2 ) + p ( F 1 ) p ( F 2 ) = p 2 + q 2 .

    Comme ( X 2 = 1 ) = ( X 2 = 0 ) alors p ( X 2 = 1 ) = 1 p 2 q 2 = 2 p q car p + q = 1.

    1. X 3 ( Ω ) = { 0 , 1 , 2 }

      ( X 3 = 0 ) = ( P 1 P 2 P 3 F 1 F 2 F 3 ) et comme précédemment
      p ( X 3 = 0 ) = p 3 + q 3 = ( p + q ) ( p 2 p q + q 2 ) = p 2 p q + q 2

      ( X 3 = 2 ) = ( P 1 F 2 P 3 F 1 P 2 F 3 ) et comme précédemment
      p ( X 3 = 2 ) = p 2 q + q 2 p = p q ( p + q ) = p q

      Enfin p ( X 3 = 1 ) = 1 ( p ( X 3 = 0 ) + p ( X 3 = 2 ) ) = 1 p 2 + p q q 2 p q = 1 p 2 q 2 = 2 p q

    2. On a: E ( X 3 ) = 0 p ( X 3 = 0 ) + 1 p ( X 3 = 1 ) + 2 p ( X 3 = 2 ) = 0 + 1 ( 2 p q ) + 2 ( p q ) = 4 p q

      E ( X 3 2 ) = 0 + 1 2 ( 2 p q ) + 2 2 ( p q ) = 6 p q d'où V ( X 3 ) = ( 4 p q ) 2 6 p q = 2 p q ( 8 p q 3 ) .

    1. La loi de X 4 était demandée en prime: X 4 ( Ω ) = { 0 , 1 , 2 , 3 } .

      ( X 4 = 0 ) = ( P 1 P 2 P 3 P 4 F 1 F 2 F 3 F 4 ) donc p ( X 4 = 0 ) = p 4 + q 4 ( X 4 = 1 ) = ( P 1 F 2 F 3 F 4 P 1 P 2 F 3 F 4 P 1 P 2 P 3 F 4 ) ( F 1 P 2 P 3 P 4 F 1 F 2 P 3 P 4 F 1 F 2 F 3 P 4 ) semblablement en commencant par F donc p ( X 4 = 1 ) = p q 3 + p 2 q 2 + p 3 q + q p 3 + q 2 p 2 + q 3 p = 2 p q ( q 2 + p q + p 2 ) = 2 p q ( ( p + q ) 2 p q ) = 2 p q ( 1 p q )

      ( X 4 = 2 ) est plus compliqué.

      ( X 4 = 3 ) = ( P 1 F 2 P 3 F 4 F 1 P 2 F 3 P 4 ) événements incompatibles donc

      p ( X 4 = 3 ) = p ( P 1 F 2 P 3 F 4 ) + p ( F 1 P 2 F 3 P 4 ) les lancers étant indépendants,

      p ( X 4 = 3 ) = 2 p 2 q 2

      D'où par système complet ( X 4 = 0 , 1 , 2 ou 3 ) , p ( X 4 = 2 ) = 1 ( p 4 + q 4 ) 2 p q ( 1 p q ) 2 p 2 q 2 = 1 p 4 q 4 2 p q

    2. Calculer E ( X 4 ) = .

Partie 2 : \etude du cas p q .

Dans cette partie, n d\esigne un entier naturel sup\erieur ou \egal \a 2 .

  1. ( X n = 0 ) = ( n P i l e n F a c e ) (incompatibles et lancers indépendants) donc P ( X n = 0 ) = p n + q n

  2. ( X n = 1 ) commence par P ou F et il y a un seul changement entre le 1 e r et le ( n 1 ) e ` m e lancer.

    ( X n = 1 ) = k = 1 n 1 ( i = 1 k P i i = k + 1 n F i ) k = 1 n 1 ( i = 1 k F i i = k + 1 n P i ) réunion d'événements incompatibles: d'où

    p ( X n = 1 ) = k = 1 n 1 p ( i = 1 k P i i = k + 1 n F i ) + k = 1 n 1 p ( i = 1 k F i i = k + 1 n P i )  les lancers sont indépendants = k = 1 n 1 ( i = 1 k p ( P i ) i = k + 1 n p ( F i ) ) + k = 1 n 1 ( i = 1 k p ( F i ) i = k + 1 n p ( P i ) ) = k = 1 n 1 ( p k q n k ) + k = 1 n 1 ( q k p n k ) = q n k = 0 n 1 ( p / q ) k q n + p n k = 0 n 1 ( q / p ) k p n = q n ( p / q ) n 1 p / q 1 q n + p n ( q / p ) n 1 q / p 1 p n = q p n q n p q q n + p q n p n q p p n = 1 q p ( q ( p n + q n ) q n ( q p ) + p ( q n p n ) p n ( q p ) ) = 1 q p ( 2 q p n + 2 q n p ) = 2 p q q p ( q n 1 p n 1 ) .

  3. Pour avoir n 1 changements en n lancers, il faut changer à chaque lancer. On commence par F ou P .

  4. On trouve pour X 3 en preant n = 3 :

    p ( X 3 = 0 ) = p 3 + q 3

    p ( X 3 = 1 ) = 2 p q q p ( q 2 p 2 ) = 2 p q ( p + q ) = 2 p q . et

    ( 3 est impair) p ( X 3 = 2 ) = ( p q ) 1 qui est bien ce que l'on avait trouvé

    et pour X 4 :

    p ( X 4 = 0 ) = p 4 + q 4

    Pour retrouver p ( X 4 = 1 ) il faut d'avantage de travail p ( X 4 = 1 ) = 2 p q q p ( q 3 p 3 ) = 2 p q q p ( q p ) ( q 2 + p q + p 2 ) = 2 p q ( q 2 + p q + p 2 ) = 2 p q ( ( p + q ) 2 p q ) = 2 p q ( 1 p q )

    (4 est pair) p ( X 4 = 3 ) = 2 ( p q ) 2 = 2 p 2 q 2

    qui sont bien les valeurs que l'on avait trouvées.

    D'où l'égalité aussi pour p ( X 4 = 2 )

  5. On a Z k qui est le nombre de changements (0 ou 1) lors du k i e ` m e lancer.

    Donc X n = k = 2 n Z k et E ( X n ) = k = 2 n E ( Z k ) .

    Reste à déterminer la loi de Z k . Or la probabilité de changement dépend du résultat précédent.

    ( P k 1 , F k 1 ) est un système complet d'événements. Donc d'après la formule des probabilités totales:

    p ( Z k = 1 ) = p ( Z k = 1 / P k 1 ) p ( P k 1 ) + p ( Z k = 1 / F k 1 ) . p ( F k 1 ) = p ( F k / P k 1 ) p ( P k 1 ) + p ( P k / F k 1 ) . p ( F k 1 ) = p q + q p = 2 p q

    Donc E ( Z k ) = 1. p ( Z k = 1 ) + 0. p ( Z k = 0 ) = 2 p q et E ( X n ) = 2 ( n 1 ) p q

Partie 3 : étude du cas p = q = 1 2 .

  1. en substituant 1 / 2 à p et q on trouve :

    p ( X 3 = 0 ) = 1 8 + 1 8 = 1 4 = C 2 0 ( 1 2 ) 0 ( 1 2 ) 2

    p ( X 3 = 1 ) = 2 1 2 1 2 = C 2 1 ( 1 2 ) 1 ( 1 2 ) 1

    p ( X 3 = 2 ) = 1 2 1 2 = C 2 2 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 ) 1

    et de même pour X 4

  2. A chaque lancer, la proabilité de changer est de 1 2 , que le lancer précédent ait donné P ou F . Les changements/ou non sont ici indépendants les uns des autres. On peut en effectue n 1 . Donc X n ( n 1 , 1 2 )




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